Gilbarg & Trudinger의 책에서 Moser Iteration의 증거에 대한 의심

Question

Gilbarg와 Trudinger의 논문에서 Moser Iteration에 관한 정리 8.15를 읽었습니다. 나는 주어진 증명의 모든 단계를 이해하지만,주의 깊게 읽어서 지울 수없는 다음과 같은 의심이 있습니다.

1. 저자는 정리에 대한 가설로서 다음을 요구합니다. $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ 과 $g\in L^{q/2}(\Omega)$ 일부 $q>n$ 그러나 그들은 증명의 어느 곳에서도 이러한 사실을 사용하지 않은 것 같습니다. 이것이 사실입니까? 그렇지 않다면 이러한 사실이 어떤 단계에서 사용됩니까?

2. 정리가 실패합니까? $q\le n$?

이 증거를 완전히 이해하도록 도와주세요.

여기에 정리의 스냅 샷을 업로드했습니다.

방정식 8.3

\ begin {equation} Lu = D_i (a ^ {ij} (x) D_ju + b ^ i (x) u) + c ^ i (x) D_iu + d (x) u \ end {equation} .

방정식 8.30

\ begin {equation} \ int _ {\ Omega} \ left (D_ivA ^ i-vB \ right) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {equation}

방정식 8.32

\ begin {equation} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {-2} (| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {-2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {-1} (| d | + k ^ {-1} | g |) \ end {equation}

방정식 8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

모든 도움말 힌트는 대단히 감사하겠습니다.

Answer 1

확실히 조건이 필요해 $f^i\in L^q(\Omega)$ 과 $g\in L^{q/2}(\Omega)$.

1. 증명하는 동안 하나는 선택해야합니다 $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(위 방정식 (8.37)). 이것은 다음과 같은 경우에만 가능합니다.$q>\hat n$.

2. 일반적으로 정리는 실패합니다. $q\leq n$. 하나에서 단서를 얻을 수 있습니다$W^{2,p}$타원 방정식의 추정. 특별한 경우를 고려하면$f=0$ 과 $Lu=g$ 와 $u=0$경계에. 그만큼$W^{2,p}$ 대충 말한다 $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ Sobolev 임베딩 정리를 상기하십시오. $W^{2,q/2}\in L^\infty$ 만약 $q>n$, 이것은 사실이 아니지만 $q\leq n$.

반례의 경우 하나의 요소 만 취할 수 있습니다. $g\in W^{2,n/2}$ 하지만 안 $g\not\in L^\infty(\Omega)$. 그때$$\Delta u=\Delta g$$ 해결책이있다 $u$ (8.34)는 사실 일 수 없습니다.