기능을합니까 $f$ 다음 속성이 존재합니까?

Aug 19 2020

어제이 질문을 보았습니다.$n$, 연속 기능이 있습니까? $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ 그런 $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$대답은 '예'이며 대답을 구성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다 (예를 들어 보간 다항식 또는 단순히 일련의 직선을 사용할 수 있음). 다른 말을 할 수 있는지 궁금합니다.$n$ 수정되지 않았습니다. 즉, 다음과 같습니다.

지속적인 기능이 있습니까? $f: (0, 1) \to \mathbb{R}$ 모든 합리적인 $k / n$ 가장 낮은 조건에서 $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$

그렇다면 쉽게 만들 수 있습니까? 그리고 얼마나 부드럽게$f$위의 속성을 여전히 만족하고 있습니까? (그 대답은 분석적 연속성이 존재한다는 것입니다.)

답변

2 Mindlack Aug 19 2020 at 21:57

내 대답은 아니오 야. 중히 여기다$\alpha \in (0,1)$ 비합리적인 숫자 및 $\frac{p_n}{q_n}$ 수렴하는 비 환원 분수의 시퀀스.

그때 $f(p_n/q_n) \rightarrow f(\alpha)$.

하지만 쉽게 알 수 있습니다 $q_n \rightarrow \infty$ 따라서 $\binom{q_n}{p_n}^{-1} \leq q_n^{-1}$ 0이됩니다.

그래서 $f$ 모든 비이성적에서 0이므로 똑같이 0, 모순입니다.

3 HagenvonEitzen Aug 19 2020 at 21:56

참고 ${2n-1\choose n}\approx{2n\choose n}\approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ 그래서 $$\lim_{n\to\infty}f(\tfrac n{2n-1})=0\ne f(\tfrac12) $$