기능 군 $f(0) = 0$ 과 $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ 평범하다
다음 질문이 있습니다
허락하다 $B$ 기능의 집합 $f$, 단위 디스크에서 분석됩니다. $\mathbb{D}$ 그리고 둘 다 만족 $f(0) = 0$ 과 $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. 증명$B$ 정상적인 가족입니다.
내 대답에는 확실하지 않은 몇 가지 부분이 있습니다.
번역 된 가족을 고려하십시오 $g(z) = f(z) - 1$ 값을받는 $\mathbb{C} - [0,1]$. 이후$g(\mathbb{D})$ 단순히 연결되고 0이 아닌 경우 단일 값 분석 분기를 정의 할 수 있습니다. $\sqrt{g(z)}$ 에 $g(\mathbb{D})$. 제곱근을 취하면 모든 값은$\sqrt{g(z)}$절반 평면을 구분하는 선이 원점을 포함하는 절반 평면에 포함됩니다. 그런 다음 가능한 회전 후에 우리는$\sqrt{g(\mathbb{D}})$왼쪽 절반 평면에 포함됩니다. 이제이 답변에 사용 된 기술을 적용 할 수 있습니다.$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ 와 $Re f>0$ 과 $f(0)=1$통상 가족 보여주는 그 변환 패밀리 (따라서$B$)는 정상적인 가족입니다.
제가 확신 할 수없는 한 가지는 모든 가치가 $\sqrt{g(z)}$절반 평면을 구분하는 선이 원점을 포함하는 절반 평면에 포함됩니다. 사실 인 것 같지만 확실하지 않습니다. 또한 나는 사실의 모든 힘을 사용하지 않고 있습니다.$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ 정말 필요한만큼 $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
어떤 의견이나 제안이라도 대단히 감사하겠습니다.
답변
당신의 아이디어는 제대로 작동하지 않으며, 퇴화되지 않은 간격이 범위를 벗어났다는 가정을 사용하지 않았다는 가정을 경고 신호로 사용해야한다는 가정을 사용하지 않았다는 것입니다 (물론 그 자체가 논쟁이 작동하지 않는다는 증거는 아닙니다 ).
그것을 보려면 $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ 가족의 정상 성을 의미하지 않고 기능을 고려합니다. $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ ...에 대한 $k \in \mathbb{N}$. 우리는$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ 모든 $k$, 및 $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. 그러나$f_k(z)$ 로컬로 균일하게 수렴 $\infty$ 오른쪽 절반 평면에서 로컬로 균일하게 수렴하여 $1$왼쪽 절반 평면에서. 시퀀스는 가상 축의 어느 지점에서도 로컬로 균일하게 수렴하지 않습니다.
주장의 첫 번째 오류는 $g(\mathbb{D})$단순히 연결되어 있습니다. 그럴 필요는 없습니다.$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ 어디 $g(\mathbb{D})$ 주위에 작은 원반의 보수 (평면에서) $0$. 간단한 연결성$\mathbb{D}$ 홀로 모픽 제곱근의 존재를 보장합니다. $\sqrt{g(z)}$하지만 그 이미지는 여전히 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
그러나 제곱근을 사용하여 하나의 반면 작품에 이미지가 포함 된 홀로 모픽 함수 제품군을 얻는 기본 아이디어는 약간 다르게 수행하면됩니다.
Möbius 변형을 고려하십시오 $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ 닫힌 간격을 매핑합니다. $[1,2]$ ...에 $[-\infty, 0]$, 및 $T(0) = 1$.
이것을 사용하여 우리는 가족을 고려할 수 있습니다 $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ 여기서 제곱근의 주 가지가 사용됩니다.
지금, $\tilde{B}$연결된 질문에서 고려되는 가족 일 뿐이므로 정상적인 가족이라는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 정상 성을 추론하는 것이 남아 있습니다.$B$그것을 통해서. (만약$(h_k)$ 국소 적으로 균일하게 수렴하는 시퀀스입니다. $(F\circ h_k)$ 또한 온화한 조건에서 국부적으로 균일하게 수렴됩니다. $F$.)