곱셈 내추럴과 가산 내추럴 (소수의 합) 사이의 커널 쌍의 모노 이드 동형의 Qutoient 모노 이드.
허락하다 $M = \Bbb{N}^{\times}$ 과 $N = (\Bbb{N}\setminus \{1\} \cup \{0\})^+$ 곱셈이고, 각각 덧셈 내츄럴이고 $\varphi : M \to N$ 취함으로써 정의되다 $1$ ...에 $0$ 과 $\prod_{i} p_i$ ...에 $\sum_i p_i$ 소수의 소수 곱에 대해 $p_i$. 그런 다음 우리는 명확하게 정의 된 단일체 동형을보고 있습니다.
케 레넬 쌍을 고려하십시오 $\ker \varphi = \{ (x,y) \in M \times M : \varphi(x) = \varphi(y)\}$. 합동 관계를 정의합니다.$M$ 그래서 우리는 몫을 취할 수 있습니다 :
$$ M' = M/\ker \varphi $$
먼저 다음과 같은 일이 발생합니다. $\varphi(39) = \varphi(55)$ 이후 $3 + 13 = 16 = 5 + 11$ 그래서 $\ker \varphi$ 실제로 사소하지 않습니다.
위키 피 디아 문서 상태 :
그것은 밝혀졌다 $\ker f$ 에 대한 등가 관계 $M$, 그리고 사실 합동 관계. 따라서 몫 모노 이드에 대해 말하는 것이 합리적입니다.$M/(\ker f)$. 모노 이드에 대한 첫 번째 동형 정리는이 몫 모노 이드가 다음의 이미지와 자연적으로 동형이라는 것을 말합니다.$f$ (의 서브 모노 이드 $N$), (합동 관계의 경우).
그러므로 $M' \simeq N$, 이후 $\varphi$추측입니다. 어떻게 쉽게 보여줄 수 있습니까?$\varphi$추측입니까? 우리가 사용할 수있을 것 같습니다$(p) + (q) = \Bbb{Z}$ 두 가지 주요 이상을 위해 $p,q$ 하지만 음의 정수가 관련 될 것이기 때문에 우리는 정말로 할 수 없습니다.
답변
만약 $n$ 짝수이다, $n = \varphi(2^{n/2})$ 그리고 만약 $n$ 이상하다 $n = \varphi(2^{(n-3)/2}\times 3)$.