고차 공변 파생 체인 규칙
허락하다 $(M,g)$리만 매니 폴드 여야합니다. 허락하다$\nabla_v$ 공변 도함수 $v$ 모두를위한 방향 $v\in T_xM$, 및 표시 $\nabla^k h$ 그만큼 $(k,0)$-에 의해 유도 적으로 로컬 좌표에 정의 된 텐서 필드 $$ \nabla^0h=dh,\quad(\nabla^kh)_{i_1,\dots,i_k}=(\nabla_{\partial_{i_1}}h)_{i_2,\dots,i_k}. $$ 부드러운 기능을 위해 $h$.
내 질문은 : 차이를 표현하는 좋은 방법이 있습니까? $\nabla\nabla_udh-\nabla_u\nabla dh$?
혼란을 피하기 위해 다음과 같은 표현을 고려하고 있습니다. $$ \nabla(\nabla_udh)(X,Y)-\nabla_u(\nabla dh)(X,Y)=\nabla_X(\underbrace{\nabla_udh}_{(1,0) -tensor\,field})(Y)-\nabla_u(\underbrace{\nabla dh}_{(2,0)-tensor\,field})(X,Y). $$이것은 형태에 적용된 Riemannian 곡률 텐서와 비슷해 보입니다. 차이점을 개발하려고 노력했지만 익숙한 것을 볼 수 없습니다. 더 일반적으로 (하지만 너무 많이 묻고있을 수도 있습니다), 글을 쓰는 좋은 방법이 있습니까?$$ \nabla^k\nabla_udh-\nabla_u\nabla^kdh=? $$
답변
쓰다 $\nabla_u dh = c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)$, 어디 $c^1_1$ 수축입니다.
\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) &= \nabla(c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)) \\ &=c^1_1 \nabla (u\otimes \nabla dh) \\ &= c^1_1( \nabla u \otimes \nabla dh + u \otimes \nabla \nabla dh) \end{align}
특히 $X, Y$및 사용 리치의 정체성을 ,
\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) (X, Y) &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_X \nabla_u dh (Y)\\ &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_u \nabla_X dh (Y) + R(u, X)dh (Y) \end{align}
그러므로
$$\big( \nabla (\nabla_u dh ) - \nabla_u \nabla dh \big)(X, Y) = (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ R(u, X)dh (Y).$$
예상대로 곡률 항이 나옵니다. 또한 우리는$\nabla u$. 일반적으로 계산할 때$$ \nabla^k \nabla_u dh- \nabla _u \nabla^k dh,$$ 당신은 차별화해야 $u$ $k$-times 및 Ricci ID 사용 $k$-타임스. 좋은 공식은 없을 것 같아요.