곡선의 속 계산 $\mathbb Q$
Riemann-Hurwitz를 통해 비 대수적으로 닫힌 필드에 대한 곡선의 속을 계산하려고합니다.
허락하다 $K = \mathbb Q(t)$ 와 $t$ 초월 적이며 $F$ 의 연장이다 $K$ 뿌리를 연결하여 얻은 $$f(x) = x^2 - (t^2 - 10t - 5)$$
이후 $K$투영 공간과 연관되어 있으며 속은 0입니다. 허락하다$g$ 함수 필드가 동형 인 부드러운 곡선의 속 $F$. 그런 다음 Riemann-Hurwitz는 다음과 같이 말합니다. $$2g -2 = 2*(-2) + \sum_{P} e_P - 1$$ $$g = -1 + \frac 12 \sum_{P} e_P - 1$$
판별 자에서 보면 곡선이 두 지점에서 파열 된 것처럼 보입니다. $\infty$ 과 $(t^2 - 10t - 5)$ 파급 지수 포함 $2$각마다. 이것은 준다$g=0$.
내가 기본 변경하면 $\mathbb Q(\alpha)$ 어디 $\alpha$ 의 뿌리입니다 $t^2 - 10t - 5$,지도는 이제 세 지점에서 파급되는 것으로 보입니다. $\infty$, $t-\alpha$, 및 $t-\alpha'$, 켤레 $\alpha$, 모두 색인 포함 $2$. 그러나 그것은 속을 만들 것입니다$1/2$ 속이 기하학적 불변이라고 생각했다는 사실에 덧붙여 말도 안되는 일입니다.
두 가지가 다르게 작동하는 것처럼 보이는 이유는 무엇이며 특히 마지막 계산에서 무엇이 잘못 되었습니까?
답변
다음은 제가 주석에서 언급 한 Riemann-Hurwitz 정리의 진술입니다. (Rosen, 함수 필드의 수 이론 , 정리 7.16, p. 90).
정리. 허락하다$L/K$함수 필드의 유한하고 분리 가능한 기하학적 확장입니다. 그때 $$ \DeclareMathOperator{\D}{\mathfrak{D}} \DeclareMathOperator{\P}{\mathfrak{P}} 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \deg_L(\D_{L/K}) $$ 어디 $\mathfrak{D}_{L/K}$ 다른 이상입니다.
모든 파급 된 소수가 $L$ 길 들여진 것입니다 (지상 필드가 특성을 가지고 있기 때문에 여기에 해당됩니다 $0$) 다음 $\D_{L/K} = \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \P$, 그래서 공식은 $$ 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \deg_L(\P) \, . $$
당신의 모범을 보면, 당신의 실수는 $F$ 위에 분류되지 않음 $\infty$. 이것을 보는 기하학적 인 방법은 다음과 같습니다. 곡선 정의 균질화$F$, 우리는 곡선을 얻습니다 $C: X^2 - (Y^2 - 10YZ - 5Z^2) = 0$, 어디 $x = X/Z$ 과 $t = Y/Z$, 그리고 우리는지도를 고려하고 있습니다 $\pi: C \to \mathbb{P}^1$, $[X:Y:Z] \mapsto [Y:Z]$. 계산하기$\pi^{-1}([1:0])$, 우리는 플러그 $Z = 0$ 에 대한 방정식으로 $C$, 획득 $$ 0 = X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y) $$ 그래서 $\pi^{-1}([1:0]) = \{[1:1:0], [1:-1:0]\}$. 이후$\sum_i e_i f_i = 2$ 근본적인 정체성에 의해 $f_i = e_i = 1$, 그래서 $\pi$ 위의 분류되지 않음 $\infty$.
더 많은 기능 필드 이론적 접근을 위해 $s = 1/t$ 과 $r = x/t = xs$. 그런 다음 최대 순서$F$ 무한대에서 $R := \frac{\mathbb{Q}[r,s]}{(r^2 - (1 - 10s - 5s^2))}$. 위의 분할을 결정하려면$\infty$, 우리는 $sR$요인. 방정식 정의 사용$R$, 우리는 찾는다 $sR = (r-1,s)(r+1,s)$,이 소수는 별개이므로 $F$ 위의 분류되지 않음 $(s)$.
허락하다 $\P = (x)$ 과 $P = (t^2 - 10t - 5)$. 잔류 필드$\P = (x)$인 {(X)} \ 뭉친 \ FRAC {\ mathbb {{정렬 *} \ FRAC {(- (t ^ 2 - - 10t 5) X ^ 2) \ mathbb {Q} [t, X]를 /} 시작 \ 차원이있는 Q} [t]} {(t ^ 2-10t-5)} \ end {align *}$2$ 로 $\mathbb{Q}$-벡터 공간, 그래서 $\deg_L(\P) = 2$.
Riemann-Hurwitz를 적용하면 \ begin {align *} 2g_L-2 = 2 (2 \ cdot 0-2) + (e (\ P / P)-1) \ deg_L (\ P) = -4 + (2 -1) \ cdot 2 = -2 \ end {align *} 그래서$g_L = 0$, 우리가 바라던대로.