구간이있는 데카르트 곱의 외부 측도

Question

(이미 질문을 받으면 미리 변증하지만, 주위를 둘러 보았지만 내 질문에 대한 답을 찾을 수 없었습니다.)

허락하다 $\lambda_m^*$ Lebesgue 외부 측정을 나타냅니다. $\mathbb{R}^m$, 및 $[a,b]$ 간격이있다 $\mathbb{R}$. 만약$A$ (반드시 Lebesgue 측정 가능하지 않음) $\mathbb{R}^n$, 다음과 같이 말할 수 있습니까?

$\lambda_{n+1}^*(A \times [a,b]) = \lambda_n^*(A) (b - a)$?

좌변이 우변보다 작거나 같고 (임의의 데카르트 곱에 해당함) 그 평등은 $A$Lebesgue는 측정 가능합니다. 하지만 일반적인 경우는 어떻습니까?

증거 나 반례를 찾는 가장 좋은 방법이 무엇인지 모르겠으므로 도움을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

편의를 위해 $n=1$ 그리고하자 $\epsilon>0$. 오픈 세트가 있습니다$A\times [a,b]\subseteq V'\in \mathbb R^2$ 그런 $\lambda_{2}^*(V')\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])+\epsilon$. 지금$V'=\bigcup_{i}U_i\times (\alpha_i,\beta_i)$ 어디 $U_i\subset \tau_{\mathbb R}$. 이것은 단지$V'$제품 토폴로지에서 기본 요소의 결합입니다. 사실,$U_i$ 단지 열린 간격이지만 $n>1,$열린 큐브 (또는 디스크)가됩니다. 그러나$V:=\bigcup_{i}U_i\times [a,b]\subseteq V'$, 및 $A\times [a,b]\subseteq V$ 그래서 $\lambda_{2}^*(V)\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])+\epsilon.$

이제 제품 외부 측정의 정의에 따라 $\lambda_{2}^*(V)=\lambda_{2}^*(\bigcup_{i}U_i\times [a,b])=\lambda_{1}^*(\bigcup_{i}U_i)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])$ 그래서 $\lambda_{1}^*(A)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])\le \lambda_{1}^*(\bigcup_{i}U_i)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])+\epsilon.$

이것은 $\lambda_{1}^*(A)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])$ 그리고 다른 불평등을 증명 했으므로 결과는 다음과 같습니다.