계산 기반에서 여러 큐 비트를 측정 할 때 관찰 할 수있는 것은 무엇입니까?

Question

Nielsen 및 Chuang, 양자 컴퓨팅 및 양자 정보에서 투영 측정에 대해 다음 정의가 제공됩니다.

투영 측정은 관찰 가능한 $M$ :

$$M = \sum_m m P_m$$

와 $P_m$ Eigenspace에 프로젝터 $M$ 고유 값으로 $m$.

이제 내 질문은 우리가 계산 기반에서 n 큐 비트 시스템을 측정한다고 말할 때, 우리는 정확히 어떤 관찰 가능을 참조합니까?

1 큐 비트의 경우 이것이 Z 관찰 가능을 참조한다는 것을 알고 있습니다.

$$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = |0 \rangle \langle 0| - |1\rangle \langle 1|.$$

n 큐 비트의 경우 내 직감은 다음과 같습니다.

\begin{align*} P_1 & = \underbrace{Z \otimes I \otimes ... \otimes I}_{n \textrm{ terms}}. \\ P_2 & = I \otimes Z \otimes ... \otimes I. \\ & ... \\ P_n & = I \otimes I \otimes ... \otimes Z. \end{align*}

나는 단위 행렬과 함께.

그러면 Observable은 정의에서와 같습니다. 그 맞습니까 ?

Answer 1

프로젝션 매트릭스의 현재 정의는 $\{P_{1},P_{2},...,P_{n}\}$ 실제로 투영 행렬이 아닙니다. $P_{i}^{2} = I \not= P_{i} \,\, \forall i$.

'더 잘'작동하는 것은 다음과 같은 경우입니다.

\ begin {equation} \ begin {split} P_ {1} ^ {+ 1} = & | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {1} ^ {-1} = & | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {+ 1} = & I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {-1} = & I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I .... \ otimes I \\ & \ vdots \\ P_ {n} ^ {+ 1} = & I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ \ P_ {n} ^ {-1} = & I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \\ \ end {split} \ end {equation}

그러나 PVM에는 $\sum_{i = 0}^{2n-1} P_{i} = I$, 분명히 여기에서는 그렇지 않습니다! 재 정규화를 통해이 문제를 해결할 수 있지만 여기에 또 다른 누락이 있습니다.이 프로젝터는 실제로 측정 값이 가질 수 있는 상관 관계 를 고려하지 않습니다 .

따라서 더 나은 '선택'은 측정 연산자입니다. $Z_{n} = Z \otimes Z \otimes Z ... \otimes Z$. 이 연산자는$2^{n}$ 고유 벡터 :

$$Z_{n} = \sum_{i \in \{0,1\}^{n}} m_{i} |i\rangle\langle i|,$$ 어디 $m_{i} = \pm 1$ 비트 문자열의 패리티를 기반으로 $i$. 측정 결과로 비트 문자열을 얻습니다.$i$, 주에 대한 투영과 연관 $|i\rangle$.

Answer 2

당신은 단순히 원하는 어떤 (모든 기본 요소는 측정의 별개의 출력에 매핑하는 것을 의미하는 것) 별개의 대각선 요소가 대각선 연산자.

이것을 Pauli 행렬로 표시하는 편리한 방법은 다음과 같습니다. $$ \sum_{i=1}^N2^{N-i-1}(1-Z_i) $$ 기본 상태 $|x\rangle$ 어디 $x$ 이진수이고 고유 값은 십진수 표현입니다. $x$(따라서 구별됨). 물론 모든 고유 값에 변화를주기 때문에 모든 항등 항을 삭제할 수 있습니다.

Answer 3

투영 측정을 고려하는 경우 관찰 가능 항목을 전혀 다룰 필요가 없습니다. 투영 측정은 기초에 의해 특성화됩니다.$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1\rangle}\{\ket{u_i}\}_i$ 측정하고 있으므로 관련 투영 확률 $p_i\equiv \lvert\langle u_i\rvert \psi\rangle\rvert^2$ (언제 $\ket\psi$측정중인 상태입니다). 다른 것은 필요하지 않습니다.

상황과 정확히 무엇에 관심이 있는지에 따라 옵저버 블을 그림으로 가져 오는 것이 유용 할 수 있습니다. 그러나 옵저버 블은 기대 값 을 계산하는 데 사용 됩니다 . 즉, 가능한 측정 결과에 숫자를 추가 한 다음 확률 분포와 관련하여 이러한 숫자의 기대 값을 계산하여 관찰 가능 항목을 정의합니다.$p_i$.