계수에 대한 단순화 된 표현식 얻기 $x^n$

Question

나는 계수를 찾으려고했다. $x^n$ 확장에 $(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2},$ 표시 $[x^n]\{(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2}\}$. 음 이항 정리를 사용하면 다음과 같다는 것을 압니다.$$ \begin{split} \sum_{j=0}^n &([x^j](1+x)^{-2})([x^{n-j}](1-2x)^{-2}) \\ &= \sum_{j=0}^n {j+1\choose 1}(-1)^j{n-j+1\choose 1}2^{n-j} \\ &= \sum_{j=0}^n (j+1)(n-j+1)(-1)^j2^{n-j}. \end{split} $$

그런데이 표현을 더욱 단순화 할 수있는 방법이 있을까?

Answer 1

@AnginaSeng에서 제안한대로 부분 분수 분해를 적용 할 수 있습니다. \begin{align} \frac{1}{(1+x)^2(1-2x)^2} &=\frac{1/9}{(1+x)^2}+\frac{4/27}{1+x}+\frac{4/9}{(1-2x)^2}+\frac{8/27}{1-2x}\\ &=\frac{1}{9}\sum_{n \ge 0}\binom{n+1}{1}(-x)^n+\frac{4}{27}\sum_{n\ge 0} (-x)^n+\frac{4}{9}\sum_{n \ge 0} \binom{n+1}{1}(2x)^n+\frac{8}{27}\sum_{n\ge 0} (2x)^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\frac{1}{9}\binom{n+1}{1}(-1)^n+\frac{4}{27}(-1)^n+\frac{4}{9}\binom{n+1}{1}2^n+\frac{8}{27} 2^n\right) x^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\color{blue}{\frac{(3n+7)(-1)^n+(12n+20)2^n}{27}}\right) x^n \end{align}

Answer 2

아마도 여기에 시작하는 방법이 있습니다. 우리는 정의 할 수 있습니다$$ f(x,y) = \sum_{j=0}^n (j+1)x^j (n-j+1) y^{n-j}, $$ 우리가 궁극적으로 알고 싶은 곳 $f(-1,2)$. 이것은 훨씬 더 간단한 기능을 차별화하는 것을 매우 암시합니다. 즉, wrt 통합$x$ 우리는 얻는다 $$ I_x(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} (n-j+1) y^{n-j} + C(y) $$ 그리고 다시 wrt 통합 $y$ $$ I_{xy}(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} y^{n-j+1} + \int C(y) dy + K(x). $$ 우리가 $C(y) = 0 = K(x)$ 우리는 $I_{xy}(x,y)$직선 기하학적 시리즈를 통해 쉽게 계산할 수 있어야합니다. 그런 다음 혼합 부분 wrt를 사용하십시오.$x$ 그리고 $y$ (또는 반대로), $x=-1,y=2$.

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아마도 더 간단한 방법은 $$ f(-1,2) = 2^n \sum_{j=0}^n (j+1) (n-j+1) (-2)^{-j} = A \sum_{j=0}^n 2^{-j} + B \sum_{j=0}^n j 2^{-j} + C \sum_{j=0}^n j^2 2^{-j}, $$ 당신이 파생 할 수있는 곳 $A,B,C$ 선형 항 곱을 확장하고 단순화하여 3 개의 합은 기하 급수입니다. $\sum_k a^k$ 및 2 파생 상품.