균일 [a, b] 밀도와 정규 (0, d ^ 2) 밀도의 컨볼 루션에 대한 표현은 무엇입니까?

Aug 17 2020

내가 가지고 있다고 가정 $X\sim Uniform[a,b]$$Y\sim normal(0,d^2)$, 밀도에 대한 표현은 무엇입니까 $Z=X+Y$?

허락하다 $F_{Z}(z)$ CDF가된다 $Z$ 평가 $z$, 그리고 $\Phi(\cdot)$$\phi$각각 표준 일반 cdf 및 pdf가됩니다. 나는 얻었다

$F_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\Phi(\frac{z-x}{d})dx$,

wrt를 구별하다 $z$ 양쪽에 준다

$f_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\phi(\frac{z-x}{d})\frac{1}{d}dx=\frac{1}{b-a}(\Phi(\frac{z-a}{d})-\Phi(\frac{z-b}{d}))$ .

이게 맞나요? 감사합니다!

답변

1 BruceET Aug 17 2020 at 11:27

논평:

현실 확인으로 여기에 컨볼 루션에 대한 시뮬레이션이 있습니다. $U \sim \mathsf{Unif}(a=2, b=7)$$Z \sim \mathsf{Norm}(\mu = 0, \sigma = 3).$

그러므로 $E(U+Z) = 4.5 + 0 = 4.5$$V(U+Z) = 25/12 +9 = 4.0833.$

set.seed(2020)
a = 2;  b = 7;  sg = 3
u = runif(10^6, a, b)
z = rnorm(10^6, 0, sg)
x = u + z
mean(x); mean(u);  mean(z);  mean(u) + mean(z)
[1] 4.497167        # aprx E(X) = 4.5
[1] 4.500343        # aprx E(U) = 4.5
[1] -0.003175144    # aprx E(Z) = 0
[1] 4.497167
var(x); var(u); 25/12; var(z); var(u) + var(u)
[1] 11.08561        # aprx Var(X)
[1] 2.081356        # aprx Var(U) = 25/12
[1] 2.083333        # 25/12
[1] 9.011073
[1] 4.162712

hist(x, prob=T, br=50, col="skyblue2", 
 main="Simulated Density of X")
curve(1/(b-a)*( pnorm((x-a)/sg) - pnorm((x-b)/sg) ),
  add=T, col="red", lwd=2)

참고 : OP의 편집 및 설명 후 그림이 수정되었습니다.