균일하게 수렴하는 일련의 함수가 리만 적분 가능함을 보여줍니다. 포인트 만 수렴하면 어떨까요?

Dec 10 2020

허락하다 $f_n$ Riemann 통합 기능의 시퀀스 $[a,b]$함수로 균일하게 수렴하는 f. f도 리만 적분 가능함을 보여줍니다. 만약$f_n$ 포인트로만 수렴합니까?

이 장면을 고려하여

$$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

이 문제를 시작하는 방법을 잘 모르겠습니다. 그들이 이미 함수로 수렴한다면, 그 함수는 연속적이어야합니다. 맞습니까? 그래서 그것은 사소하게 리만 통합이 가능합니다. 내가 확실하지 않은 중요한 경우. 그리고 한계가있는 두 번째 부분은 어떻게해야할지 모르겠습니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다!

답변

2 RRL Dec 11 2020 at 00:21

Riemann 기준을 사용하여 균일 한계가 $f$ 일련의 Riemann 통합 가능 함수 $(f_n)_n$ Riemann도 통합 가능합니다.

균일 한 수렴으로 모두를 위해 $\epsilon > 0$, 존재 $N \in \mathbb{N}$ 모두를 위해 $n \geqslant N$ 우리는

$$-\frac{\epsilon}{3(b-a)} < f(x) - f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}$$

허락하다 $P: a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$파티션입니다. 이후$f(x) = f(x) - f_n(x) + f_n(x),$ 파티션 하위 간격에서 다음을 따릅니다. $I$,

$$\sup_I f(x) \leqslant \sup_I(f(x) - f_n(x)) + \sup_I f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \sup_I f_n(x), \\ \inf_I f(x) \geqslant \inf_I(f(x) - f_n(x)) + \inf_I f_n(x) > -\frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \inf_I f_n(x).$$

그러므로, $ \inf_I f_n(x)- \frac{\epsilon}{3(b-a)} <\inf_I f(x) \leqslant \sup_I f(x) < \sup_I f_n(x)+ \frac{\epsilon}{3(b-a)}. $

상한 및 하한 Darboux 합계에 대해 얻은 모든 파티션 하위 간격을 합산합니다.

$$U(f,P) < \frac{\epsilon}{3} + U(f_n,P), \quad -L(f,P) < \frac{\epsilon}{3} - L(f_n,P),$$

따라서
$$U(f,P) - L(f,P) < \frac{2\epsilon}{3} + U(f_n,P) - L(f_n,P).$$

이후 $f_n$ Riemann은 통합 가능하며 파티션이 있습니다. $P$ 그런 $U(f_n,P) - L(f_n,P) < \epsilon/3$ 그리고 그것은 다음과 같습니다 $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$ 그것을 증명 $f$ Riemann은 통합 가능합니다.

이제 다음을 고려하여 적분 시퀀스의 한계가 한계 함수의 적분임을 스스로 증명할 수 있습니다. $|f_n(x) - f(x)| \to 0$ 모두에게 균일하게 $x \in [a,b]$.

2 Bargabbiati Dec 10 2020 at 21:11

허락하다 $\{q_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ 간격의 유리수 $[0,1]$, 기능을 고려해 보겠습니다. $$f_n(x)= \begin{cases} 1 &\text{if}\quad x \in \{q_1, \ldots, q_n\},\\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases} $$

그만큼 $f_n(x)$ 리만 적분은 가능하지만 리만 적분이 아닌 디리클레 함수로 수렴합니다.