합 한계의 유한성에 대하여

Aug 19 2020

허락하다 $U$ 도메인이되다 $\mathbb{C}^n$. 허락하다$\alpha:U\times U\longrightarrow [0,\infty)$ 속성을 가진 연속 함수 $\alpha(z,w)=\alpha(w,z)$ 모든 $z,w\in U$$\alpha(z,w)\leq \alpha(z,v)+ \alpha(v,z)$ 모든 $z,w,v\in U$.

부분적으로 부드러운 경로가 주어졌습니다. $\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. 어디$\gamma(a)=z$$\gamma(b)=w$. 파티션 가져 오기$a=x_0\leq x_1 \leq x_2\cdots\leq x_n=b$. 그런 다음 만족스러운 더 미세하고 미세한 파티션을 선택하십시오.$\sup_{1\leq i\leq n} x_i-x_{i-1}=\Delta\longrightarrow 0$.

이제 정의 $L_\alpha(\gamma)=\lim_{\Delta\longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))$.

그것은 연속성에 의해 말한다 $\gamma$, $L_\alpha$잘 정의되어 있습니다. 나는 모든 유한 분할에 대해 합이 유한하다는 것을 알고 있지만 왜 한계가 유한할까요?

답변

AlexRavsky Sep 27 2020 at 07:55

한계는 언제라도 무한 할 수 있습니다. $\gamma$아이덴티티 맵입니다. 사실,하자$n=1$, $U=\{z\in \Bbb C:|z|\le 1\}$, 및 $\alpha(z,w)=\sqrt{|z-w|}$ 모든 $z,w\in U$. 허락하다$a=-1$, $b=1$$\gamma(x)=x$ 각각 $x\in [-1,1]$. 주어진$n$, 각각 $i\in\{0,1,\dots,n\}$ 놓다 $x_i=2i/n-1$. 그때$\sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))=\sqrt{2n},$ 무한한 경향이있는 $n$ 무한한 경향이 있습니다.