합계 수 $n$ 제곱은 다음의 합으로 표현됩니다. $n/2$ 사각형?

Question

사각형이 피타고라스 트리플 일 때 특별한 경우에 대한 대답은 '예'입니다. 피타고라스 트리플이 가장 낮은 경우$n$즉 $2$. 두 개의 피타고라스 트리플을 결합하여$4$ 정사각형 $(3^2 + 4^2) + (5^2 + 12^2) = 5^2 + 13^2$. 피타고라스 트리플을 결합 (더하기)하면 임의의 제곱합을 만들 수 있습니다.$n$.

질문 : 관련된 제곱 쌍이 피타고라스 트리플이 아니거나 모든 쌍이 피타고라스가 아닌 경우 일반적인 경우 어떻게됩니까?

Answer 1

대답은 ' 예' 입니다.$n \geq 8$그리고 더 에 대한 (심지어 없음)$n \leq 7$.

만약 $n \geq 8$ 다음 당신의 합계 $n$제곱은 라그랑주 4 제곱 정리에 의한 4 제곱의 합입니다. 자, 만약$n/2$ 4보다 크면 다음과 같은 충분한 항을 추가하여 합계를 완료 할 수 있습니다. $0^2$.

에 대한 $4 \leq n \leq 7$ 참고 $7$ 다음의 합계로 쓸 수 있습니다. $n$ 제곱하지만 합계로 쓸 수 없습니다. $n/2$ 사각형.

에 대한 $2 \leq n \leq 3$ 참고 $5$ 의 합계입니다 $n$ 제곱하지만 합계는 아님 $n/2$ 사각형.

Answer 2

라그랑주의 4 제곱 정리에서 우리는 모든 자연수를 4 개의 완전 제곱의 합으로 표현할 수 있습니다. 우리는 항상 추가 할 수 있기 때문에$0^2$ 합계를 변경하지 않고 모든 자연수를 다음의 합계로 쓸 수 있음을 의미합니다. $n$ 모든 사각형 $n\geq4$.

당신의 문제는 그것이 주어지면 묻습니다. $M$ 의 합계입니다 $n$ 제곱, 그것은 합으로 쓸 수 있습니까? $\frac{n}{2}$사각형. 이것이 필요하기 때문에$n$ 짝수, 우리는 네 가지 경우가 있습니다.

사례 1 : $n=2$

이 경우에는 $M$ 두 제곱의 합입니다. 피타고라스 트리플이 있다면 한 제곱의 합입니다.

사례 2 : $n=4$

이 경우 $M$임의의 자연수 일 수 있습니다. 이 질문은 일반 자연수를 2 제곱의 합으로 쓸 수 있는지 묻습니다. 이 질문에 대한 답은 Euler가 인정한 두 제곱의 합 정리에서 비롯되었으며, 소수 분해에 합동 인 소수가 포함되지 않은 경우에만 숫자를 두 제곱의 합으로 쓸 수 있다고 말합니다.$-1\mod4$ 이상한 힘으로 올라갔습니다.

사례 3 : $n=6$

이 경우 M은 임의의 자연수 일 수 있습니다. 이 질문은 일반적인 자연수를 3 제곱의 합으로 쓸 수 있는지 묻습니다. 르장 드르의 3 제곱 정리에 따르면 대부분의 자연수를 3 제곱의 합으로 쓸 수있는 것은 아닙니다. 특히, 모든 자연수를 제외하고https://oeis.org/A004215 세 제곱의 합으로 쓸 수 있습니다.

사례 4 : $n\geq8$

이 경우 모든 자연수는 다음의 합으로 쓸 수 있습니다. $\frac{n}{2}$ 정사각형이므로 대답은 사소한 예입니다.

Cases 3 및 4의 경우 선택하는 데 충분한 여유가 있습니다. $n$ 피타고라스 트리플을 포함하지 않는 이별을 선택할 수있는 사각형

Answer 3

내가 질문을 올바르게 이해했는지 확실하지 않습니다. 이것이 당신이 실제로 의미하는 바라면 반대 사례를 생각해내는 것이 그리 어렵지 않기 때문입니다.

나의 해석 : 주어진 $n$ 양의 정수, $\{ a_1, ..., a_n \}$, 컬렉션을 찾을 수 있습니다 $n/2$ 양의 정수, 예를 들어, $\{ b_1, ... , b_{n/2} \}$ 그런 $$ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 = \sum_{i=1}^{n/2} {b_i}^2 $$.

이것이 실제로 의미하는 바라면 먼저 $n$홀수 정수가되어야합니다. 때문에$n/2$ 정수가 아니라는 진술은 분명히 거짓입니다.

이제 가정 $n$짝수 만 허용됩니다. 생각해보십시오$n = 2$ 과 $a_i = 1$ 모두 $i=1,2$. $\sum {a_i}^2 = 1^2 +1^2 = 2$, 완전한 제곱이 아니므로 진술에 대한 반례입니다.

Answer 4

2 개의 피타고라스 트리플은 4 개의 제곱의 합 또는 2 개의 제곱의 합으로 표현 될 수 있습니다.

예 : $\qquad(15^2+8^2)+(21^2+20^2)=17^2+29^2$

또는이 답변의 첫 번째 버전에서 보여준 예에서 : $$157^2+12324^2=6493^2+10476^4=10147^2+6996^2=12317^2+444^2=12325^2$$ $\implies(157^2+12324^2)+(6493^2+10476^4)+(10147^2+6996^2)+(12317^2+444^2)\\\qquad\qquad\qquad=(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)$

어디 $8$ 제곱합은 다음과 같이 표현됩니다. $4$. 나는 예를 들었다$4$ 동일한 값이지만 짝수의 조합 $C$-값은 그 수의 절반으로 줄일 수 있습니다.

또 다른 예는 $10$ 제곱합은 다음과 같습니다. $5$ 합계 $\qquad\qquad (3^2+4^2)+(5^2+12^2)+(13^2+84^2)+(85^2+132^2)+(157^2+12324^2)\\ \qquad\qquad=5^2+13^2+85^2+157^2+12325^2$

마지막 질문에 대해 사각형이 필요하지 않은 경우 무한 솔루션도 있습니다. $$(12+13)+(168+1)=5^2+13^2$$ 또는 $$(1^2+2^2)+(4^2+5^2)=(5+41)$$