해결 방법 $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}$ 로피탈없이?

Question

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}$
$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}-\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}$ 하지만이 제한은 여전히 $\frac{1}{\infty-\infty}$ 나는 이것을 시도했다 :
$\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}+\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}{(n^3+n+1)^2-(n^2-n+2)^3} = \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}+\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}{3n^5-7n^4+15n^3-17n^2+14n-7}$

나는 여기에 완전히 갇혀 있습니다. 나는 분수를$3n^5$ 그리고 해결책은 $0$. 정답이 아닙니다. 내가 뭘 놓 쳤니?

Answer 1

또 다른 아이디어로 빠른 솔루션$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+0n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{(n+0)^3-0+0n^2+n+1}-\sqrt{(n-\frac12)^2-\frac14+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n-(n-\frac12)}=\\2$$

말: $$n^3+an^2+bn+c=\\(n+\frac a3)^3-(3n^2.\frac a3+3n(\frac a3)^2+(\frac a3)^3)+bn+c\\(n\to \infty) \implies n^3+an^2+bn+c\sim (n+\frac a3)^3 $$ 그래서 $$n^3+n+1=(n+0)^3-0^3+n+1$$ 또한 $n^2+an+b=(n+\frac a2)^2-(\frac a2)^2+c$

Answer 2

유리 지수에 대한 이항 정리 :

(1 + n) ^ (1/3) = 1 + n / 3 + ... (1 + n) ^ (1/2) = 1 + n / 2 + ...

s1 = (n ^ 3 + n-1) ^ (1/3) = [n ^ 3 (1+ 1 / n ^ 2 + ...)] ^ (1/3) = n (1+ 1 / ( 3 n ^ 2) ...) s2 = (n ^ 2 -n + 2) ^ (1/2) = [n ^ 2 (1- 1 / n ^ 2 + ...)] ^ (1/2 ) = n (1 -1 / (2n) ...) s1-s2 = 1 / (3n) + 1/2 ...

임 1 / (s1-s2) = 2

n-> 무한대

Answer 3

타이핑 노력과 시각적 혼란을 줄이는 방식으로 항상 대수 계산을 단순화하십시오.

분명히 우리는 $n$ 분모의 두 용어에서 공통이므로 분모는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $n(a-b) $ 둘 다 $a, b$ 경향이 $1$. 또한 우리는$a^3,b^2$ 급진적 자유이므로 $$n(a-b) =n(a-1-(b-1))=n\left((a^3-1)\cdot\frac{a-1}{a^3-1}-(b^2-1)\cdot\frac{b-1}{b^2-1}\right)\tag{1}$$ 다만 $$n(a^3-1)=n\left(\frac{1}{n^2}+\frac {1}{n^3}\right)\to 0$$ 과 $$n(b^2-1)=n\left(-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)\to - 1$$ 이제 방정식에서 다음과 같습니다. $(1)$ 그 분모 $n(a-b) $ 경향이 $$0\cdot\frac{1}{3}-(-1)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ 따라서 한계 이하의 표현은 $2$.

Answer 4

큰 경우 $n$, $(1+n^{-2}+n^{-3})^{1/3}\in 1+\tfrac13n^{-2}+O(n^{-2})\subseteq 1+o(n^{-1})$, 그래서$$\begin{align}\frac{n^{-1}}{(1+n^{-2}+n^{-3})^{1/3}-(1-n^{-1}+2n^{-2})^{1/2}}&\in\frac{n^{-1}}{1+o(n^{-1})-1+\tfrac12n^{-1}+o(n^{-1})}\\&=\frac{n^{-1}}{\tfrac12n^{-1}+o(n^{-1})}\\&\stackrel{n\to\infty}{\sim}2.\end{align}$$