행렬 노름을 통해 대칭 행렬의 최소 고유 값 바인딩
저자가 다음 형식의 불평등을 증명하는 논문을 읽고 있습니다.
$$\lVert H-H'\rVert_2 \leq \lVert H-H'\rVert_F \leq \epsilon \tag 1$$
여기 $H$ 과 $H'$ 대칭 실수 행렬 ($H'$ 중요한 경우 모든 양의 고유 값이 있으며, 규범은 $L_2$매트릭스 노름과 프로 베니 우스 노름. 정당화없이 저자는 다음과 같이 주장합니다.
$$\lambda_\text{min}(H) \geq \lambda_\text{min}(H') - \epsilon \tag 2$$
어디 $\lambda_\text{min}$ 행렬의 최소 고유 값입니다.
나는 이것을 정당화하는 방법을 볼 수 없거나 (2)가 (1)에서 추론되도록 의도 된 경우에도 마찬가지입니다. 여기 에 논문이 있습니다-Lemma 3.2, 6 페이지 증명의 끝입니다.
답변
이 답변을 기반으로 이 일 . 아래에서는 임의의 내부 곱으로 작업 할 것입니다. 행렬의 표준을 취하면 이것은 우리가 사용하는 벡터 표준과 관련된 연산자 표준을 의미합니다 . 우리는 :
정리. 만약$A$ 과 $B$ 실제 대칭이면 다음과 같습니다.
$$\lambda_\text{min} (A) \geq \lambda_\text{min} (B) - \lVert A-B\rVert$$ $$\lambda_\text{max} (A) \leq \lambda_\text{max} (B) + \lVert A-B\rVert$$
이를 증명하기위한 핵심은 $x^T Mx$, 어디 $M$ 대칭 행렬이고 $x$단위 규범이 있습니다. 이 표현에 대해 두 가지 기본형이 필요합니다.
보조 정리 1. 들어 있는 행렬$M$ 및 모든 단위 표준 $x$: $$-\lVert M\rVert \leq x^T Mx\leq \lVert M\rVert$$ 증명. Cauchy-Schwartz의 간단한 적용과 연산자 규범의 정의 :$$|x^TMx|\leq\lVert x\rVert \lVert Mx\rVert\leq \lVert x\rVert^2 \lVert M\rVert=\lVert M\rVert$$
Lemma 2. 모든 대칭 행렬의 경우$M$ 및 모든 단위 표준 $x$: $$\lambda_\text{min}(M) \leq x^T M x \leq \lambda_\text{max}(M)$$ 경계는 다음과 같이 달성됩니다. $x$ 단위 구에 따라 다릅니다.
증명. 허락하다$M=P^TDP$ 어디 $P$ 직교하고 $D$대각선입니다. 그때$$x^TMx = (Px)^TD(Px)$$ 같이 $x$ 단위 구에 따라 달라집니다. $Px$ 또한 전체 단위 구체에 걸쳐 달라 지므로 위의 후자 표현의 범위는 단순히 $y^TDy$ 같이 $y$단위 구에 걸쳐 범위. 에 의해 재 배열 불평등 과 다른 간단한 인수, 최소가 될 때 달성된다$y$ 다음과 관련된 고유 벡터입니다. $\lambda_\text{min}(M)$ 그리고 최대 $y$ 다음과 관련된 고유 벡터입니다. $\lambda_\text{max}(M)$.
마지막으로 우리는 정리를 증명할 수 있습니다. 모든 단위 표준$x$, 우리는
$$x^TAx = x^TBx + x^T(A-B)x$$
기본형 1을 두 번째 용어에 적용하고 기본형 2를 첫 번째 용어에 적용하면 왼쪽 변의 최소값은 $\lambda_\text{min} (B)-\lVert A-B\rVert$. Lemma 2에 따르면 좌변의 최소값이$\lambda_\text{min} (A)$. 비슷한 주장은 정리의 다른 불평등을 보여줍니다.