행렬의 0이 아닌 고유 값에 대한 기하 다중도 $AB$ 과 $BA$.
이 사이트에는 고유 값에 대한 많은 정보가 제공되므로 $AB$ 과 $BA$ 정사각형 행렬의 경우 $A$ 과 $B$. 특성 다항식$AB$ 과 $BA$둘 다 동일하므로 둘 다 다중성을 갖는 동일한 고유 값 세트를 갖습니다. 이제 저는 기하학 다중성에 대해 알고 싶습니다.$AB$ 과 $BA$ 0이 될 수 있고 대각선이 불가능할 수도 있으므로 고유 값의 기하학적 다중도 $0$같지 않을 수 있습니다. 이제 일반적인 0이 아닌 고유 값의 기하학적 다중성은 어떻습니까? 동일할까요? 즉$a\neq 0$ 그럼 우리는 말할 수 있습니까 $$Geo.Mult_a(AB) =Geo.Mult_a(BA)? $$설명하거나 반대 사례를 제공하십시오. 감사.
답변
다음은 고유 공간의 차원이 같음에 대한 다소 다른 설명입니다. $AB$ 과 $BA$다른 답변보다 0이 아닌 고유 값의 경우 (지금까지); 이는 Jordan 유형 (Jordan 블록 크기 목록)이 0이 아닌 고유 값에 대해서도 동일하다는 다소 강력한 결과를 제공합니다. 모든 선형 연산자$T$ 독특한 $T$-안정된 보완 부분 공간$~W$ 고유 값에 대한 일반 고유 공간으로$~0$. 이를 설명하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 대수적으로 닫힌 필드를 통해$W$다른 모든 일반 고유 공간의 (직접) 합입니다. 그것은의 이미지입니다$T^k$ 충분히 큰$~k$ ($k=n$, 공간의 차원은 확실히 충분합니다. 만약$Q$ 모든 요인에 의한 특성 다항식의 몫입니다.$~X$ 다음을 포함합니다. $W=\ker(Q[T])$.
이제 $T$ 다음과 같이 주어진 선형 연산자 $AB$ 그리고하자 $W_0$ 이 부분 공간이$~W$그것을 위해. 건설에 의해 제한$T$ ...에 $W_0$ 가역적입니다 (가 없습니다 $0$고유 값으로). 만약$W_1$ 의 이미지입니다 $W_0$ 곱셈에서 $B$, 선형지도가 있습니다. $b:W_0\to W_1$ (곱하기 $B$) 및 $a:W_1\to W_0$ (곱하기 $A$) 누구의 구성 $a\circ b$ 그 뒤집을 수있는 제한은 $T$ ...에 $W_0$, 그래서 $a$ 과 $b$각각 반전 가능해야합니다. 로 시작$T'$ 주어진 $BA$ 대신에 $AB$, 하나는 그 부분 공간 $W$ 사실이다 $W_1$. 이제 제한$a\circ b$ 의 $T$ ...에 $W_0$ 제한에 공액 $b\circ a$ 의 $T'$ ...에$~W_1$, 이후 $ab=a(ba)a^{-1}$. 0이 아닌 고유 값에 대한 모든 (일반화 된) 고유 공간$AB$ 각각 $BA$ 에 포함되어 있습니다 $W_0$ 각기 $W_1$, 하나는 원하는 결과를 얻습니다.
사실입니다. 허락하다$x_1,x_2,\ldots,x_k$ 고유 공간의 기초가된다 $AB$ 0이 아닌 고유 값에 해당 $\lambda$. 그때$Bx_1,Bx_2,\ldots,Bx_k$ 선형 적으로 독립적입니다. $\sum_ic_iBx_i=0$, 다음 $\lambda\sum_ic_ix_i=A(\sum_ic_iBx_i)=0$ 따라서 모두 $c_i$s는 0입니다. 그러나$BA(Bx_i)=B(ABx_i)=\lambda Bx_i$, 각각 $Bx_i$ 다음의 고유 벡터입니다. $AB$ 고유 값에 해당 $\lambda$. 따라서 기하학적 다중성$\lambda$ 에 $BA$ 기하 다중도보다 크거나 같습니다. $\lambda$ 에 $AB$. 역 불평등은 우리가$A$ 과 $B$위의. 따라서 기하학적 다중성$\lambda$ 에 $AB$ 과 $BA$ 동일합니다.
힌트:
만약 $\lambda \ne 0$ 고유 값 $AB$ 과 $BA$, 선형지도가 $$\ker(AB-\lambda I) \to \ker (BA - \lambda I), \quad x \mapsto Bx$$ $$\ker(BA-\lambda I) \to \ker (AB - \lambda I), \quad x \mapsto Ax$$주사제입니다. 다음과 같습니다$\dim \ker (AB - \lambda I) = \dim \ker (BA - \lambda I)$.