행렬의 기하학적 해석 $A-B$

Question

특별한 경우와 함께 두 행렬의 뺄셈에 대한 기하학적 해석이 있습니까? $I -A$ (단위 행렬에서 행렬 빼기)?

참조 : If $A$ 멱등 행렬, 범위 $A$ 그리고 범위 $I-A$분리 된 세트입니다. 기하학적으로 이해하려고합니다.

누구나 기하학적으로 행렬 빼기의 일반적인 경우를 설명 할 수 있다면 좋은 도움이 될 것입니다.

Answer 1

나는 일반적인 대답이 없다고 생각합니다 $A-B$, 그러나 $I-A$, 더 정확하게는 $Q=I-P$ 어디 $P$ 특정 부분 공간에 대한 직교 투영 행렬 (즉, 당신이 말한 멱등 행렬) $S$, 다음 $Q=I-P$ 직교 보수에 대한 직교 투영입니다. $S^{\perp}$ 의 $S$.

예를 들어, 3D에서는 $S$ 방정식으로 $x=y=z$, 표준 단위 벡터 사용 $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. 직교 투영 행렬$S$ 랭크 1 행렬입니다 (범위 공간이 1 차원이기 때문에 순위 1) :

$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$

과

$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$

평면에 대한 직교 투영입니다. $S^{\perp}$ 직교 $S$ 방정식으로 $x+y+z=0$, (범위 공간이 이제 2 차원이므로 랭크 -2 행렬 사용).