행렬식과 자취가 주어진 3x3 행렬의 고유 값 찾기
가정하십시오 $3×3$행렬 A에는 두 개의 고유 값 만 있습니다. 한다고 가정$\operatorname{tr}(A)=−1$ 과 $\det(A)=45$. 고유 값 구하기$A$.
나는 trace와 determinant (trace = a + d and det = ad-bc)의 속성을 사용하여 2x2 행렬로 비슷한 문제를 해결했습니다. 특성 다항식을 표현하는 것이 훨씬 더 복잡하기 때문에 3x3 행렬에 대해 동일한 접근 방식을 사용하여 성공하지 못했습니다. 내가 취할 수있는 다른 접근 방법이 있습니까?
답변
고유 값이 다음과 같다고 가정합니다. $x$ 과 $y$. 당신의 매트릭스$A$ 대각 행렬과 유사합니다. $B$대각선에 고유 값이 있습니다.
이제 비슷한 행렬은 같은 행렬식과 같은 트레이스를 가지므로 다음 방정식을 얻을 수 있습니다.$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$첫 번째는 대각선의 합입니다 (2 개의 고유 한 고유 값이 있으므로 그중 하나가 대각선에 2 번 표시됨).
두 번째는 대각 행렬의 곱입니다.
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$
만약 $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ 과 $2x+y=-1$. 그리고 그것이 우리의 대답입니다 :)
매트릭스에 대한 보유 $A$ 그 $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ 당신은 하나의 고유 값을 두 번 가지고 있기 때문에 (나는 $\lambda_1$) 결과 : $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$
// 편집 : 수정 된 결과 :이 문제를 해결하고 다음을 얻을 수 있습니다.
$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$