할 수있다 $\mathbb{Q}(x^3,y^3,x+y)$ 두 가지 요소로만 생성됩니까?

Question

허락하다 $\mathbb{Q}(x,y)$ 변수의 유리 함수 필드 $x, y$ 합리적 계수를 사용하고 하위 필드를 고려하십시오. $K=\mathbb{Q}(x^3,y^3,x+y)$. 존재합니까$p, q \in K$ 그런 $K=\mathbb{Q}(p,q)$? 대답이 긍정적이라면 그러한 두 가지 요소를 명시 적으로 찾을 수 있습니까?

이 질문은 내 이전 게시물에 대한 그의 놀라운 답변에서 재결합에 의해 요청되었습니다. https://math.stackexchange.com/questions/3902911/subextensions-of-finitely-generated-fields. 내 직관을 따라야한다면 대답이 부정적이라고 장담 할 수 있지만 가능한 증거는 없습니다. 어떤 도움이라도 환영합니다.

Answer 1

우리는 $K={\bf Q}(x,y)$.

때문에 $(x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)$ 그래서 $xy\in K$ 과 $x=(x^3+xy(x+y))/((x+y)^2-xy)$.