한 쌍의 인접 펑터에 의해 고유하게 결정되는 부속의 자연 동형입니다.

Aug 21 2020

adjunction은 트리플입니다$(F, U, \zeta)$, 어디

  • $F\colon C\to D$$U\colon D\to C$ 펑터이고
  • $\zeta$ 펑터 간의 동형 $\operatorname{Hom}(-, U(-))$$\operatorname{Hom}(F(-), -)$.

펑터에게 그런 일이 일어날 수 있습니까? $F\dashv U$ 두 가지 다른 자연 동형이 있습니다 $\zeta$$\zeta'$ 그런 $(F, U, \zeta)$$(F, U, \zeta')$ 부가 물입니까?

얼마나 다른가 $\zeta$$\zeta'$있다? 예를 들어, 각 부속물$(F, U, \zeta)$ 하위 범주 간의 동등성을 유도합니다.

  • $C_{\zeta}:=\{A\in C\mid \eta_A\colon A\to U(F(A))\text{ is an isomorphism}\}\leq C$
  • $D_{\zeta}:=\{B\in D\mid \epsilon_B\colon F(U(B))\to A\text{ is an isomorphism}\}\leq D$,

어디 $\eta$$\epsilon$ 에 의해 유도 된 단위 및 공동 단위 $\zeta$, 각각.

그런 일이 일어날 수 있습니까? $C_{\zeta}\neq C_{\zeta'}$$D_{\zeta}\neq D_{\zeta'}$?

답변

2 shibai Aug 21 2020 at 04:08

펑터가 주어지면 $U:\mathcal D\to\mathcal C$, 왼쪽 인접 $F$ (부속 단위 포함) 훨씬 더 로컬에서 정의 할 수 있습니다. $x\in\mathcal C$, 우리는 초기 객체가 있습니다 $\eta_x:x\to U(F_x)$에서 쉼표 카테고리 $(x\downarrow U)$, 그런 다음 모든 초기 객체의 선택을 수정할 수 있습니다. $x$ 왼쪽 인접으로 컴파일 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 전송에 의해 유도 $x\mapsto F_x$, 여기서 부속 장치는 $\eta_x$. 이것은 여기의 제안 1.9 에서 논의 됩니다 .

특히 $x\in\mathcal C$ 하나의 선택 $\eta_x:x\to U(F_x)$동형 (isomorphism)이면 가능한 모든 단위 선택$\eta'_x:x\to U(F_x')$초기 객체는 고유 한 동형으로 고유하므로 동형이어야합니다. 특히 두 가지 자연 동형의 경우$\zeta,\zeta':\operatorname{Hom}(-,U(-))\to\operatorname{Hom}(F(-),-)$, 우리는 $\mathcal C_\zeta=\mathcal C_{\zeta'}$. 이중으로, 우리는 또한$\mathcal D_\zeta=\mathcal D_{\zeta'}$.

그러나 이것은 또한 단위와 공동 단위의 선택이 고유 한 동형 (적절한 쉼표 범주에서)까지 구성 요소별로 고유하므로 엄격하게 고유하지 않음을 나타냅니다. 단위와 공동 단위는 자연 동형에 의해 고유하게 결정되기 때문에$\zeta:\operatorname{Hom}(-,U(-))\to\operatorname{Hom}(F(-),-)$ (특히, $\eta_x:x\to U(F(x))$ 밑에 preimgae입니다 $\zeta$$\operatorname{id}:F(x)\to F(x)$$\epsilon_y:F(U(y))\to y$ 아래 이미지입니다 $\zeta$$\operatorname{id}:U(y)\to U(y)$), 이것은 자연 동형이 $\zeta$없는 하나의 고유합니다.