허락하다 $A$ 개방적이고 밀집된 세트 $\mathbb R^n$. 증명 $A + A = \mathbb R^n$

Question

나는 이것에 대해 어떻게 갈지 모른다. 내가 증명하려는 것은$x$ 에 $\mathbb R^n$ 약간이 있어야한다 $y$ 둘 다 $\frac x 2 + y$ 과 $\frac x 2 - y$ 둘 다 A에 있습니다.

그러나 나는 계속하는 방법을 모른다. 힌트 만 있으면 감사하겠습니다

Answer 1

만약 $A$ 조밀 한 오픈 세트입니다. $A-\frac x2$ 과 $\frac x2-A$조밀 한 오픈 세트이므로 교차점은 조밀 한 오픈 세트이며 특히 비어 있지 않습니다. 포인트 선택$y\in(A-\frac x2)\cap(\frac x2-A)$; 그때$\frac x2+y\in A$ 과 $\frac x2-y\in A$, 그래서 $x=(\frac x2+y)+(\frac x2-y)\in A+A$.

더 일반적으로, 경우$A$ 비어 있지 않은 오픈 세트 $\mathbb R^n$ 과 $B$ 밀도가 높은 하위 집합입니다. $\mathbb R^n$, 다음 $A+B=\mathbb R^n$.

증명. 어떤 점을 고려하십시오$t\in\mathbb R^n$; 우리는 그것을 보여야합니다$t\in A+B$.

매핑 이후 $x\mapsto t-x$ 동 종파입니다. $t-A$비어 있지 않은 오픈 세트입니다. 이후$B$ 밀도가 높고 $B\cap(t-A)\ne\emptyset$. 포인트 선택$b\in B\cap(t-A)$. 그때$b\in B$, 및 $b=t-a$ 일부 $a\in A$, 그래서 $t=a+b\in A+B$.