허락하다 $\mathbf a$ 과 $\mathbf b$3D 벡터입니다. 을 찾다 $3\times3$ 매트릭스 $\mathbf R$ 그런 $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.

Question

안녕하세요. 제목이 이걸 찾으려고합니다.

허락하다 $\mathbf a$ 과 $\mathbf b$3D 벡터입니다. 을 찾다$3\times3$ 매트릭스 $\mathbf R$ 그런 $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.

내 연습에 따르면 대답은

$$ R = \frac{1}{b^2} \begin{bmatrix} b^2_y+b^2_z & -b_xb_y & -b_xb_z \\ -b_xb_y & b^2_x+b^2_z & -b_yb_z \\ -b_xb_z & -b_yb_z & b^2_x+b^2_y \\ \end{bmatrix} $$

이 솔루션에 도달 할 수 없었고 최대한 멀리까지 도달했습니다.

$$ a_{\bot b} = a - a_{||b} = a - \frac{a\cdot b}{b^2}b $$ 그리고 나는 대체 할 수있다 $ a_{||b} $ 매트릭스 제품으로 표현하기 위해 $$ a_{||b} = \frac{1}{b^2}bb^{\mathrm T}a $$ 이게 겉감 이니까 $$a_{\bot b} = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix}$$

이것으로부터 나는 얻을 수있다 $$ Ra = a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix} $$ 이것은 내가 얻을 수 있었고 마지막 방정식을 처음으로 얻는 데 필요한 단계를 확신하지 못하는 한입니다.

누구나 제공 할 수있는 통찰력에 감사드립니다.

Answer 1

마지막 몇 단계는 $$ \begin{align*} Ra &= a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}a\\ &= \frac{1}{b^2}\Bigg(b^2I - \begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ \end{align*}$$ 그것을주의해라 $b^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$. 그래서$$\begin{align*} Ra &= \frac{1}{b^2}\Bigg(\begin{bmatrix}b_x^2 + b_y^2 + b_z^2& 0 & 0\\ 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 & 0\\ 0 & 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ &= \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}a\end{align*} $$ 그 후 $$ R = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}$$