허락하다 $\{x_n\}$ 순서가있다 $(0, 1)$ 그런 $x_n \to 0$. 시퀀스를 보여 $\{f(x_n)\}$ 수렴.
다음 문제를 해결하려고합니다.
한다고 가정 $f: (0, 1) \to \mathbb R$균일하게 연속적입니다. 허락하다$\{x_n\}$ 순서가있다 $(0, 1)$ 그런 $x_n \to 0$. 시퀀스를 보여$\{f(x_n)\}$ 수렴.
나는 만약에 $f(x_n)$ 수렴, 수렴해야 $f(0)$ 그러나 이것이 어떤 정리 (?)에서 오는지 잘 모르겠습니다.
둘째, 간격을 다루는 경우 $[0, 1]$ 보다는 $(0, 1)$접근하는 방법에 대한 아이디어가 있다고 생각합니다. 이후$f(x)$ 균일하게 연속됩니다 $[0, 1]$ 모든 $\epsilon > 0$ 우리는 $\delta_\epsilon$ 그런 경우 $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ 그때 $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. 이후,$x_n \to 0$ 우리는 항상 몇 가지를 선택할 수 있다고 생각합니다 $N \in \mathbb N$ 그런 $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$. 그래서 우리는 모두를 위해$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ 일부 선택 $\epsilon > 0$.
그러나 여기서 우리는 열린 간격을 다루고 있습니다. $(0, 1)$ 보다는 $[0, 1]$ 따라서 우리는 모든 $\epsilon > 0$ 우리는 $\delta_\epsilon$ 그런 경우 $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ 그때 $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. 이는 균일 연속성의 정의가 다음과 같이 말하고 있기 때문입니다.
허락하다 $(X, d_X)$ 과 $(Y, d_Y)$ 두 개의 미터법 공간이고 $f: X \to Y$. 우리는 말한다$f$ 모두에 대해 균일하게 연속적입니다. $\epsilon > 0$ ~이있다 $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ 모두를 위해 $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.
그러나 $f: (0, 1) \to \mathbb R$ 요점 $0$ 거짓말하지 않는다 $(0, 1)$! 따라서 우리는 모두에게$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, 어디 $X = (0, 1)$ 과 $Y = \mathbb R$ 이 맥락에서.
이 증거를 고치는 방법을 아십니까? 또한, 왜$f(x_n)$ 반드시 수렴 $f(0)$ 만약 $x_n \to 0$? 이것이 균일 연속 함수의 특별한 속성입니까?
답변
균일 한 연속성을 사용하여 표시 $f$, 그 $(f(x_n))_n$ 코시 시퀀스입니다. $f(0)$ 설정에 정의되어 있지 않습니다 ( $f$ 이다 $(0,1)$) 결론을 내릴 수 없습니다. $f(x_n) \to f(0)$. 그러나 이후$\Bbb R$완료되면 시퀀스가 제한을 허용합니다. 균등 연속 함수는 연속적이므로 함수가$g$ 정의 $[0,1]$ 획일적으로 연속적이며, 특히 연속적입니다. $g(x_n)\to g(0)$.
한 가지 접근 방식은 다음과 같은 사실을 사용하는 것입니다. $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ 균일하게 연속 $(a,b)$, 다음 $f$ 고유 한 균일 연속 확장을 허용합니다. $[a,b]$. 이 경우 다음 값을 고유하게 정의 할 수 있습니다.$f(0)$ 그런 $f:[0,1)\to\mathbb{R}$균일하게 연속적입니다. 그런 다음 결론을 내릴 수 있습니다.$f(x_n)\to f(0)$ 연속성에 의해.
f (x)가 연속적이므로 $\forall \epsilon, \exists \delta$ 그런 때 $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$.
에 대한 $x_n\to 0$, $\exists N,$ 그런 때 $n>N, |x_n-0|<\delta$.
따라서 $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ 수렴.
수정 : @FormulaWriter가 말했듯이, $f(0)$ 명확하게 정의되지 않았으므로 교체하는 것이 좋습니다. $f(0)$ 위와 같이 $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$.