힘의 수학적 정의 [중복]
나는 몇 가지 방정식을 가지고 놀던 고등학생인데 육체적으로 상상할 수없는 공식을 도출했습니다.
\begin{align} W & = \vec F \cdot \vec r \\ \frac{dW}{dt} & = \frac{d}{dt}[\vec F \cdot \vec r] = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt} \\ \implies & \boxed{P = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}} \end{align}
벡터 형식 공식을 사용하여 Work를 차별화했습니다. $\vec F \cdot \vec r$그래서 저는 제품 규칙을 적용하여이 공식을 얻었습니다. 이 공식에서$\frac{d\vec F}{dt}=0$ (힘은 일정 함) 공식보다 $P = \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}$ 이것은 총체적으로 말이되지만이 공식은 $\frac{d\vec r}{dt}=0$ 그러면 권력의 공식은 $P =\frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r$이는 속도가 0이면 반드시 물체의 힘도 0이라는 것을 의미하지는 않습니다!
그러나 나는 고등학교 교과서에서 이것을 찾을 수 없으며이 상황이 사실 인 내 머릿속의 예를 생각할 수 없습니다.
내가 듣고 읽은 것에서 물체의 속도가 0이면 힘도 0입니다.
누군가 내 오해를 지우거나 이런 상황이 발생하는 상황의 예를 들어 줄 수 있습니까?
답변
힘에 의해 수행되는 작업은 다음에 의해 정의되지 않습니다. $W=\mathbf F\cdot\mathbf r$. 대신 작업은 경로에 대한 선 적분으로 정의됩니다 (방정식은 힘과 위치에 대한 작업을 할당 할뿐 힘에 의해 수행되는 작업이 의미하는 것과 일치하지 않음). 우리는
$$W\equiv\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf r\to\text dW=\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$
그래서 우리가 가질 때 $P=\text dW/\text dt$ 우리는
$$P=\frac{\text dW}{\text dt}=\frac{\mathbf F\cdot\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$
그래서 없습니다 $\mathbf r\cdot \text d\mathbf F/\text dt$권력에 대한 표현의 용어. 이것은 개념적으로도 작동합니다. 힘의 출력은 문제가되는 입자의 위치 (즉, 원점 위치)에 직접적으로 의존해서는 안됩니다.
작업은 다음과 같이 정의됩니다. $W = \int_{}^{} \vec F \cdot d \vec r = \int_{}^{} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. 전력, P는 dW / dt =$\vec F \cdot \vec v$.
일에 대한 당신의 관계가 올바르지 않기 때문에 권력에 대한 당신의 관계 (질문에 상자 안에 든 관계)가 올바르지 않습니다.
다른 사람들이 이미 대답했듯이 $W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf r$ 단순화이며 상수의 특별한 경우에만 작동합니다. $\mathbf F$. 그리고 당신의 공식도 마찬가지입니다.
그것을 물리적으로 보는 한 가지 방법은 일이 위치의 기능이 아님을 인식하는 것입니다. 수학적으로 우리는 일반적으로 부정확 한 미분의 개념을 사용하여 설명합니다.
$$\delta W = \mathbf F \cdot d \mathbf r$$
이 표기법은 양쪽을 통합하고 같은 수를 얻을 수 있다는 사실을 강조하는 데 사용됩니다. 그러나이 공식을 재 배열 할 수 없으며 실제로 (일반적으로) 표현할 수 없습니다. $\mathbf F$ 사용 $W$.
정확한 차이의 예와이를 통해 수행 할 수있는 작업 :
$$d \mathbf r = \mathbf v \, dt \implies \mathbf v = \frac {d \mathbf r} {dt}$$
추신 당신이 쓸 수있는 몇 가지 특별한 경우가 있습니다 $\mathbf F = \nabla \, W$, 그 경우에는 $\mathbf F$ 잠재적 인 힘입니다.
파생 상품을 사용할 때 무엇의 기능이 무엇인지 염두에 두는 것이 매우 중요합니다.
작업의 정의에서 힘은 시간이 아니라 위치의 함수입니다. 즉, 시간에 따라 변하는 역장에서 확실히 움직일 수 있지만 중요한 것은이 힘이 과거에 있었는지 미래에 있을지에 관계없이 경로의 각 단계에서 측정하는 힘입니다.
다른 답변은 적분 및 미분과 같은 이상한 것에 대해 논의합니다. 이 답변은 OP를 충족 시키려고합니다. 질문에 사용 된 수학 수준을 대상으로하고 공식으로 시작합니다.$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
아마도 당신이이 공식을 시작한 이유는이 때문이다 한 고등학교 교과서에서 찾을 학교에서 그것을 배웠다. 다른 답변의 일부와 달리 공식이 옳기 때문입니다. 그러나 올바르게 적용하려면 두 가지를 이해해야합니다.
- 그것은 필요합니다 $\vec{F}$ 일정하다.
- 그것은 필요합니다 $\vec{r}$물체가 힘을받는 동안 위치 의 변화$\vec{F}$. 이것은 다음과 같이 작성하는 것이 좋습니다.$\Delta \vec{r}$. [1]
이제 문제를 살펴 보겠습니다.
만약 $\frac{d\vec{r}}{dt} = 0$ 그러면 권력의 공식은 $P = \frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}$, 이는 속도가 0이면 반드시 물체의 힘도 0이라는 것을 의미하지는 않습니다.
이 진술은 위에서 논의한 두 가지 사항을 설명하지 못합니다.
- 그것은 인식하지 못합니다 $\frac{d\vec{F}}{dt} = 0$.
- 그것은 인식하지 못합니다 $\vec{r}$, 정말 $\Delta \vec{r}$, 속도가 0 일 때 실제로는 아무 의미가 없습니다. (이 점을 제대로 다루려면 적분 이 필요합니다. 다른 답변을 참조하십시오.)
[1] 전기에 대해 아는 사람들에게 이것은 사람들이 자주 쓰는 것과 같습니다. $V$ 그들이 정말로 의미 할 때 $\Delta V$.