회로에서 인접하지 않은 큐 비트에 대해 CNOT 연산을 수학적으로 작성하는 좋은 방법이 있습니까? [복제]
일반적으로 단일 큐 비트 연산을 제공하므로 CNOT 행렬을 표시 할 방법이 있는지 궁금합니다.
$$... 1 \otimes NOT \otimes 1 ...$$
회로의 인접 큐 비트에 대해 동일하게 나타낼 수 있음을 알고 있습니다.
$$... 1 \otimes CNOT \otimes 1 ...$$
그러나 인접한 와이어가 아닌 여러 CNOT이 작동하는 경우 연산을 수학적으로 표시하는 방법이 있습니까?
답변
추상 회로 표현만을 언급하는 경우, CNOT에 참여하는 모든 큐 비트가 레이블에 따라 "인접"되도록 기본을 재정렬 할 수 있습니다. 예를 들어, 기초가 다음과 같이 주문 된 경우$1,2,3$, 큐 비트 1과 3 사이에 CNOT을 수행하려면 다음과 같이 작성하면됩니다.
$$ CNOT_{1,3} \otimes I_2 $$
기초가 지금 주문되는 곳 $1,3,2$. 그러나 기준을 재정렬하지 않으려면 CNOT을 작성하는 다른 방법도 있습니다.
$$ |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes X $$
두 번째 큐 비트의 상태에 대한 정체성을 포함 할 수 있습니다.
$$ (|0\rangle\langle0|)_1 \otimes I_2 \otimes I_3 + (|1\rangle\langle1|)_1 \otimes I_2 \otimes X_3 $$
이것은 더 이상 단일의 산물이 아니며 CNOT의 행동이 운영 산물로 고려되어서는 안되기 때문에 예상됩니다.
개인적으로 나는 단지 몇 가지 표기법을 정의합니다. 예를 들어, 적어 둔 NOT 대신$X_n$ 되려고 $$ X_n=1^{\otimes(n-1)}\otimes X\otimes 1^{\otimes(N-n)}. $$ 마찬가지로 다음을 정의 할 수 있습니다. $CNOT^i_j$ 통제되지 않는 통제되지 않는 $i$ 및 타겟팅 $j$. 텐서 제품으로 작성해야한다면 아마도 다음과 같이 할 것입니다.$$ 1^{\otimes N}+1^{\otimes (i-1)}\otimes |1\rangle\langle 1|\otimes 1^{\otimes(j-i-1)}\otimes(X-1)\otimes 1^{\otimes(N-j)} $$ 가정 $j>i$.