Hölder- 연속 함수를 포함하는 적분의 균일 추정

Question

허락하다 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 개방적이고 경계가되다 $s\in(0,1)$, 허락하다 $u\in C^{0,2s+\epsilon}(\Omega)$ 경계 $u\in C^{0,s}(\mathbb{R}^n)$ 다음과 같이 : $u=0$, 의 위에 $\mathbb{R}^n\setminus\Omega$, 상수가 존재한다는 것은 사실입니다. $C>0$ 다음과 같이 : $$\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{n+2s}}\,dy\leq C,\qquad\forall x\in\Omega,$$ 와 $C$ 의존하지 않는 $x\in\Omega$. 여기$\epsilon>0$ 그런 $2s+\epsilon\in(0,1)$, 그리고 모든 $\alpha>0$, $C^{0,\alpha}(A)$ 홀더 연속 기능의 공간입니다. $A\subset\mathbb{R}^n$. u에 대한 어떤 가정 하에서 내 주장이 사실입니까? 어떻게 진행해야할지 모르겠습니다. 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

$\newcommand\ep\epsilon\newcommand\Om\Omega\newcommand\al\alpha\newcommand\R{\mathbb R}$원하는 결론은 사실입니다. 실제로,$u\in C^{0,s}(\R^n)$ 그런 $u$ Hölder-continuous on $\Om$ 지수로 $2s+\ep\in(0,1)$. 그때$u$ 계속된다 $\R^n$ (조건 대신 우리가 필요한 전부입니다 $u\in C^{0,s}(\R^n)$).

그것은 다음과 같습니다 $u\in C^{0,2s+\ep}(\R^n)$. 사실, 우리는$u$ Hölder-continuous on $\Om$ 지수로 $2s+\ep$. 계속되는$\R^n$, $u$ 또한 Hölder- 연속적입니다. $\bar\Om$ 의 $\Om$ 지수로 $2s+\ep$. 즉, 일부 실제$c>0$ $$|u(x)-u(y)|\le c|x-y|^{2s+\ep}\quad\forall x,y\in\bar\Om.\tag{1}$$ 또한, $u$ Hölder-continuous on $\R^n\setminus\Om$ 어떤 지수로도 $u=0$ 의 위에 $\R^n\setminus\Om$. 그것을 보여주기 위해$u\in C^{0,2s+\ep}(\R^n)$, (1)의 불평등이 모든 $x\in\Om$ 과 $y\in\R^n\setminus\Om$. 그런 걸 가져가$x,y$. 연결하는 직선 세그먼트에서$x$ 과 $y$, 포인트가 있습니다 $z$ 경계에 누워 $\Om$($=\bar\Om\setminus\Om$). 그때$|x-z|\le|x-y|$ 과 $u(z)=0$, 그래서 $u(z)=u(y)$ 따라서 (1)에 의해 $$|u(x)-u(y)|=|u(x)-u(z)|\le c|x-z|^{2s+\ep}\le c|x-y|^{2s+\ep}.$$ 이것으로 $u\in C^{0,2s+\ep}(\R^n)$.

이제 원하는 결론이 이전 답변 의 첫 번째 "긍정적 인"부분에 이어 집니다.