홀수 항의 합에서 시퀀스의 합을 구합니다.

Question

합계를 계산하고 싶습니다 $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ 푸리에 시리즈를 사용하여 $f(x)=|x|$ 위에 $(-\pi,\pi)$. 계수$b_k$ 모두 $0$ 때문에 $f$짝수이다. 통합 작업을 수행하면서 다음을 얻었습니다.$$ a_0 = \pi $$ 과 $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ ...에 대한 $k>0$. Parseval의 동등성은 다음을 제공합니다.$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ 주는 $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ 단순화하는 $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ 기본적으로 다음과 같이 말합니다. $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ 거기에서 합계를 얻는 방법을 알고 있습니까?

Answer 1

당신이 가진 것을 관찰하십시오 $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. 부름$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ 당신은 그것을 가지고 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ 그리고 마침내 당신은 $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ 어떤에서 $S=\frac {\pi^4}{90}$

Answer 2

당신은 본질적으로

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$

당신은 찾고 싶어

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$

즉, 추가하고 싶습니다.

$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$

팩토링 ${\frac{1}{2^4}}$ 위의 수확량에

$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$

그래서 전반적으로 전화하면 ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ 당신은 가지고

$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$

$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$

이제 재정렬 할 수 있습니까? ${S}$?