Homotopy 등가의 매끄러운 4- 다양체는 안정적으로 이형이 아닌가?
두 개의 4 매니 폴드가 $M$ 과 $N$있는 안정적 diffeomorphic 가 존재하는 경우$m,n$ 그런 $$M \#_n (S^2 \times S^2) \cong N \#_n (S^2 \times S^2).$$ 즉, 충분히 많은 연결된 합계를 취한 후 이형 화됩니다. $S^2 \times S^2$.
예제를 찾고 싶습니다. $M$ 과 $N$ 동형이 동등한 것 $M \simeq N$,하지만 어디 $M$ 과 $N$ 안정적으로 이형 화 되지 않습니다 .
나는 그러한 다양체의 두 가지 예를 알고 있습니다. 예제 5.2.4에서
유한 기본 그룹 P. Teichner, PhD 논문, 독일 마인츠 대학교, Shaker Verlag 1992, ISBN 3-86111-182-9가있는 토폴로지 4- 다양체 .
Teichner는 한 쌍의 $M$ 과 $N$ 기본 그룹 $\pi$ Sylow 2- 하위 그룹이 일반화 된 Quaterion 그룹 인 유한 그룹입니다. $Q_{8n}$ 와 $n \geq 2$.
또 다른 쌍 $M$ 과 $N$ 기본 그룹과 함께 무한이면 체 그룹은 다음과 같이 구성되었습니다.
토폴로지 4- 다양체에 대한 별 구성에 대해 . P. Teichner, Proc. 조지아 국제 토폴로지 컨퍼런스 1993. Geom. 상단. AMS / IP 스터드. Adv. 수학. 2300-312 AMS (1997)
이 현상의 다른 알려진 예가 있습니까? 나는 문헌에서 다른 것을 찾는 데 실패했지만 이것은 나의 전문 분야가 아닙니다. 이것이 언제 발생할 수 있는지에 대한 일반적인 결과가 있습니까?
답변
$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\RP}{\mathbb{RP}}$ $\RP^4$ 그리고 Capell-Shaneson의 가짜 $\RP^4$, 내가 표시 할 $Q$, 기본 그룹의 예입니다. $\Z/2$. 이것이 일반화되는지는 모르겠지만 TFT 이유 때문에이 예제를 좋아합니다. David Reutter는 준 단순 4d TFT가 방향성, 안정된 이형성을 구별 할 수 없음을 증명했습니다.$4$-다양체, 그러나 구별되는 반 간단한 TFT가 있습니다 $\RP^4$ ...에서 $Q$.
Kreck의 수정 된 수술 이론은 두 개의 폐쇄 여부를 결정합니다 $4$-다양체 $X$ 과 $Y$ 아르 $(S^2\times S^2)$-지루함을 사용하여 안정적으로 이형. 구체적으로 특별히,$X$ 과 $Y$ 안정된 법선이 같아야합니다 $1$-유형 $\xi\colon B\to BO$. ( 안정적인 법선의 정의는 Kreck 을 참조하십시오.$1$-type.) 그런 다음 집합을 계산합니다. $S(\xi) := \Omega_4^\xi/\mathrm{Aut}(\xi)$, 어디 $\mathrm{Aut}(\xi)$ 섬유 동질성 등가물을 나타냅니다. $\xi\colon B\to BO$. $X$ 과 $Y$ 수업을 결정하다 $S(\xi)$; 이 클래스가 같으면 안정적으로 다른 형태입니다.
의 경우 $\RP^4$ 과 $Q$, 안정된 일반 유형은 $\xi\colon B\mathit{SO}\times B\Z/2\to BO$, 여기서 맵은 0 순위 가상 벡터 번들로 분류됩니다. $V_{\mathit{SO}}\oplus (\sigma - 1)$; 여기$V_{\mathit{SO}}\to B\mathit{SO}$ 과 $\sigma\to B\Z/2$팽팽한 묶음입니다. 분류지도의 상승$\xi$ 핀과 동일$^+$ 탄젠트 번들의 구조이므로 $\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\cong\Z/16$. 그만큼$\mathrm{Aut}(\xi)$-액션 $\Z/16$ 보내다 $x\mapsto \pm x$.
Kirby-Taylor 는 동형을 선택합니다.$\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\to\Z/16$ 이 동형화 아래에서 두 개의 핀이$^+$ 구조 $\RP^4$ 로 보내진다 $\pm 1$, 그리고 두 개의 핀$^+$ 구조 $Q$ 로 보내진다 $\pm 9$. 따라서 우리가 보낼 때$x\mapsto -x$,이 두 가지는 구별됩니다.
TFT digression : 구별하는 4d 무 방향 TFT를 구성합니다. $\RP^4$ ...에서 $Q$, 핀으로 시작$^+$ 분할 기능이있는 반전 가능한 TFT $\eta$-동형을 정의하는 불변 $\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\to\mu_{16}$ (여기 $\mu_{16}$ 통일의 16 번째 뿌리를 나타냅니다. $\mathbb C$). 그런 다음 핀에 대한 유한 경로 적분을 수행합니다.$^+$구조. 이 두 연산은 모두 한 번 확장 된 TFT에 대해 수학적으로 이해되므로 결과는 한 번 확장 된 (따라서 반 간단한) 비 방향성 TFT가됩니다.$\RP^4$ ...에서 $Q$. 나는 이것에 대해 다른 MO 답변 에서 조금 더 자세히 썼습니다 .