확인 $f(x)=x^2$ 주어진 도메인에서 균일하게 연속적입니다.

Aug 18 2020

다음 함수가 주어진 영역에서 균일하게 연속되는지 확인합니다.

$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$

내 시도 :

도메인 $[0,\infty]$. 허락하다$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$

그때 $|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

그러나, $|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$

그때 $f(x)=x²$ 도메인에서 균일하게 연속되지 않음 $[0,\infty]$

도메인 $[0,1]$. 허락하다$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$

그때 $|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

그러나, $|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$

그때 $f(x)=x²$ 도메인에서 균일하게 연속되지 않음 $[0,1]$

내 방법이 올바른지 잘 모르겠습니다. 어떤 제안이라도 좋을 것입니다!

답변

2 TheSilverDoe Aug 18 2020 at 04:35

함수가 균일하게 연속되는지 확인하는 또 다른 방법 $[0,1]$ Heine의 정리를 사용하는 것은 균일 연속성의 정의가 충족된다는 것을 증명하는 것입니다.

사실,하자 $\varepsilon > 0$. 허락하다$\eta = \varepsilon/2$. 모든$x,y \in [0,1]$ 그런 $|x-y|<\eta$, 당신은 $$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$

그래서 정의가 만족됩니다.

1 Vercassivelaunos Aug 18 2020 at 04:02

도메인에 대한 방법 $[0,\infty)$정확하고 결과도 정확합니다. 하지만 도메인$[0,1]$, 작동하지 않습니다. $x_n,y_n$도메인에 없습니다. 대신 컴팩트 도메인의 연속 함수가 균일하게 연속적이라는 사실을 사용할 수 있습니다.

1 inavda Aug 18 2020 at 04:01

확실히 균일하게 연속적입니다. $[0,1]$. 일반적으로 연속 함수는 컴팩트 세트에서 항상 균일하게 연속됩니다 (@Bungo가 주석에서 지적했듯이).

댓글에있는 질문을 해결하려면 :

예를 들어, $\varepsilon$, 우리가 $\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$, 우리는 $$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$

추신 @ TheSilverDoe의 답변은 훨씬 깨끗하므로 확인하겠습니다. :)