확률 밀도 함수 (PDF)에서 "밀도"는 정확히 무엇을 의미합니까? [복제]
일반적으로 밀도는 질량 / 부피입니다. 또한 인구 / 단위 면적 인 인구 밀도와 같은 것에 사용됩니다.
PDF에서 단어 밀도의 중요성은 무엇입니까?
답변
짧은 대답 : 물리적 밀도와 마찬가지로 확률 밀도는 확률 / 체적입니다.
긴 대답 : 균질 한 객체의 경우 밀도를 정의 할 수 있습니다.$m/V$,와 함께 $m$ 질량과 $V$볼륨. 그러나 객체가 균질하지 않은 경우 밀도는 객체 내 공간 좌표의 함수입니다.$$ \rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V} $$즉, 주어진 좌표 주변의 무한소 부피 내부의 질량을 그 무한소 부피로 나눈 것입니다. 자두 푸딩을 생각해보십시오. 건포도의 밀도는 반죽의 밀도와 다릅니다.
확률을 위해 기본적으로 동일합니다. $$ f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V} $$ 어디 $f$ 확률 밀도 함수 (PDF)이고 $F$ 누적 밀도 함수 (CDF), $\Delta F$ 무한소 부피의 무한소 확률입니다. $\Delta V$ 좌표 부근 $(x, y, z)$ 그 공간에 $F$ 정의됩니다.
이제 우리는 3 차원 공간을 가진 물리적 세계에 살고 있습니다.하지만 우리는 공간에 대한 확률 정의에만 국한되지 않습니다. 실제로는 단일 차원에 대해 정의 된 확률로 작업하는 것이 훨씬 더 일반적입니다.$x$. 그런 다음 위의 내용은 다음과 같이 단순화됩니다.$$ f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} $$ 하지만 물론 확률 모델에 따라 $F$ 과 $f$ 모든 차원에 대해 정의 할 수 있습니다.
Radon-Nikodym 도함수 는보다 일반적인 밀도 개념의 공식적인 정의로 볼 수 있습니다 .
이 두 방법의 비율합니다 (이 광범위한 특성, 그것들은 부가 동일한 정의) 공간 .
$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$
이 비율은 하나의 수량을 측정합니다. $\nu$ 세트의 $S$ 다른 척도에 대한 적분으로 표현 가능 $\mu$ $$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$
일반적으로 분모 $\mu$거리, 면적 또는 부피와 같은 메트릭 측정 값을 기반으로하는 측정 값입니다. 이것은 질량 밀도, 에너지 밀도, 전하 밀도, 입자 밀도와 같은 물리학의 밀도에 일반적입니다.
확률의 밀도로 인해 분모는보다 일반적으로 물리적 공간 과 관련이없는 또 다른 유형의 변수가 될 수 있습니다 . 그러나 종종 유클리드 측정 또는 Lebesgue 측정 의 사용과 유사합니다 . 변수가 물리적 공간에서 좌표가 될 필요는 없습니다.
단일 연속 확률 변수의 경우 점에서 pdf 값 $t$지점에서 단위 길이 당 확률 질량 단위로 측정 된 확률 질량 의 밀도 를 알려줍니다.$t$실제 라인에. 확률 질량의 밀도는 실제 라인의 다른 지점에서 다를 수 있습니다. 고등학교 물리학의 대량 / 부피 처방만큼 쉽지는 않습니다.