확률 시퀀스의 한계 평가

Aug 19 2020

허락하다$X_1, X_2, \ldots$분포가 집중된 iid 랜덤 변수의 시퀀스$[1,\infty)$그리고 유한한 두 번째 순간. 우리는 가정합니다$a=E\ln X_1$,$\sigma^2=\operatorname{Var}\ln X_1$.

확률 시퀀스의 한계를 평가하는 방법$$\Pr\left(\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}\right) ? $$어떻게 시작해야 할지 모르겠습니다. 중심극한정리(Central Limit Theorem)와 연관될 수 있다고 생각하지만 확실하지 않습니다.

답변

2 SherwinLott Aug 30 2020 at 06:59

로그를 취하고$Y_{i} = \ln(X_{i})$:

$$\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}$$

$$\begin{align} &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} + na\\ &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \\ &\Longleftrightarrow A_{n} \equiv \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \end{align}$$

첫 번째 항은 분포에서 수렴합니다.$N(0, \sigma^{2})$중심 극한 정리에 의해, 그리고 두 번째 항은 확률로 수렴합니다.$-2a$따라서 큰 수의 약한 법칙에 의해$A_n$에 분포로 수렴한다.$N(-2a, \sigma^{2})$.

$$\mathbb{P}(A_{n} \leq 0 ) \rightarrow \Phi\left(\frac{2a}{\sigma}\right)$$

어디에$\Phi$표준 일반 cdf입니다.