이 다항식을 인수하는 방법은 무엇입니까?

Nov 25 2020

이 다항식을 고려하려고했습니다.

$x^3 + x^2 - 16x + 20$

이 질문에는 네 가지 옵션이 있습니다.

  1. ( a ) 다음과 같은 형식으로 고려할 수 있습니다.$(x^2 + b)(x+c)$;
  2. ( b ) 다음과 같은 형식으로 고려할 수 있습니다.$(x+b)(x+c)(x+d)$, 가정 $b \neq c \neq d$
  3. ( c ) 인수 분해 할 수 없습니다.
  4. ( d ) 다음과 같은 형태로 인수 될 수 있습니다.$(x+b)^2 (x+c) $

내가 그것을 시도한 방법은 다음과 같습니다. x를 그룹화하여 인수를 시도 했으므로 다음을 얻었습니다. $x(x^2 + x - 16) + 20$. 자, 나는$x$ 그리고 $20$ 함께: $(x+20)(x^2 + x - 16)$. 그런 다음 두 번째 용어를 고려했습니다.$(x+20)(x-16)(x+1)$. 따라서이 알고리즘에 따르면 대답은 "b"가됩니다.

시험을 마쳤고 (내가하려고하는 입학 시험에 대한 시뮬레이션입니다) 답을 제출했는데이 질문이 올바르지 않다는 것을 알게되었습니다.

답변

9 KingLogic Nov 25 2020 at 14:23

@Fernis가 의견에서 지적했듯이

당신은 $(x+20)$당신이 한 것처럼. 공통 요소가 없습니다$(x+20)$ 중에서 $x^2+x−16$$20$.

사용 https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem, 가능한 합리적인 뿌리가 $\pm 1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.

검사 및 다항식 / 합성 분할을 통해 $(x-2)^2(x-5)$, @saulspatz가 말했듯이. 따라서 (d)가 답입니다.

4 YvesDaoust Nov 25 2020 at 14:31

시도하기 가장 쉬운 방법은 (d)입니다. 왜냐하면 다항식에 이중근이 있다고하기 때문입니다. 미분의 근을 찾아 다항식을 취소하는지 확인합니다.

$$3x^2+2x-16=0\iff x=2\text{ or }x=-\dfrac83.$$

지금 $p(2)=0$, 빙고!

2 Nikhil Nov 25 2020 at 14:46

이것은 고려하기 쉽습니다. 방법을 봅시다.

연결하여 시작 $x=0,1,-1,2$ 등등.

검사를 통해 $x=2$다항식의 0입니다. 따라서,$(x-2)$ 그 요인입니다.

이제 다음과 같은 방식으로 다항식을 인수 화합니다. $(x-2)$ 일반화됩니다.

$$x^3+x^2-16x+20$$ $$=x^3-2x^2+3x^2-6x-10x+20$$ $$=x^2(x-2)+3x(x-2)-10(x-2)$$ $$=(x-2)(x^2+3x-10)$$ $$=(x-2)(x^2+5x-2x-10)$$ $$=(x-2)[x(x+5)-2(x+5)]$$ $$=(x-2)^2(x+5)$$