이 함수가 분석적인 가장 큰 오픈 세트를 찾는 데이 접근 방식이 맞습니까?

Aug 17 2020

이 질문은 복잡한 분석에서 나의 과제의 일부였습니다.

가장 큰 오픈 세트를 찾으십시오. $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ 분석적입니다.

나는 썼다 $F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ 그리고 컴퓨팅 $\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. 그런 다음$F(t+h)$ 나는 얻을 것이다 $\mathrm{d}(t+h)$ 내가 동등하게 넣은 $\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. 그래서 나는 얻고있다$3$ 적분.

그러나 혼란이 있습니다. $F(t)$ 이다 $0$ ...에 $1$ 위에 $\mathrm{d}t$ 그러나 때문에 $\mathrm{d}(t+h)$ 적분 내부에서 나는 한계를 얻고 있습니다. $\mathrm{d}h$ 또한 같음 $0$ ...에 $1$ 그런 다음 제한을 두겠습니다 $h \rightarrow0$.

그 후에는 계산 만 남습니다. 그래서 내 접근 방식이 맞습니까? 그렇지 않다면 실수가 무엇인지, 올바른 접근 방식이 무엇인지 친절하게 알려주십시오.

감사!!

답변

1 Vercassivelaunos Aug 16 2020 at 23:56

파라 메트릭 적분에 라이프니츠 규칙을 사용할 수 있습니다. $D\subseteq\mathbb C$ 열려 있습니다. $f:[a,b]\times D\to\mathbb C$ 연속적이며 $f_t(z):=f(t,z)$ 분석 중입니다. $D$ 모든 $t\in[a,b]$, 다음

$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$

분석 중입니다. $D$. 구체적인 예에서$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$, 분석 대상 $\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$ 모든 $t\in[0,1]$, 이후 $f_t$ 다음을 제외한 모든 곳에서 분석 $z=-\frac{1}{t}$. 따라서 문제의 적분은 제가 언급 한 도메인에 대한 분석이고, 그 도메인 외부에 정의되어 있지 않습니다. 따라서 해당 도메인은 분석이 수행되는 가장 큰 도메인이기도합니다.