이 신원을 어떻게 증명할 수 있습니까? $\int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx = 2 \pi I_0(a)$

Aug 19 2020

우리는 그것을 어떻게 주장 할 수 있습니까? $$ \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x)) \,dx = 2 \pi I_0(a) $$ 어디 $I_0(a)$ 수정 된 Bessel 함수입니다.

나는 그것을 아래와 같이 단순화하려고 시도했다. \begin{align} \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx & = \int_0^\pi \exp(i a\cos(x))\, dx + \int_\pi^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(i a\cos(\theta + \pi))\, d\theta\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta \end{align}

어떻게 보여줄 수 있니 $$ \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta = \pi I_0(a) \text{ ?} $$

답변

1 MarkViola Aug 19 2020 at 09:48

대체 시행 $x\mapsto 2\pi-x$, 우리는

$$\int_\pi^{2\pi}e^{ia\cos(x)}\,dx=\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx$$

따라서 우리는

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} e^{ia\cos(x)}\,dx&=2\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx\\\\ &=2\pi I_0(a) \end{align}$$

표시되는대로!