이 숫자가 7로 나눌 수 있음을 증명 [중복]
귀납법을 사용하지 않고 7 개로 나눈다는 것을 어떻게 증명할 수 있습니까? $3^{2n+1}+2^{n+2}$ 각각 $n\in\mathbb{N}$? 나는 그것을 사용하여 확장하려고했습니다.$\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=1+x+..+x^n$그러나 나는 성공하지 못했습니다. 하나 이상의 증거가 제공되면 좋을 것입니다.
답변
\ begin {eqnarray *} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (3 ^ {2n + 1} + 2 ^ {n + 2}) x ^ n = \ frac {3} {1-9x} + \ frac {4} {1-2x} = \ frac {\ color {red} {7} (1-6x)} {(1-9x) (1-2x)}. \ end {eqnarray *} 이 함수는 명확하게 정수 계수를 갖습니다. \ begin {eqnarray *} \ frac {(1-6x)} {(1-9x) (1-2x)} = (1-6x) \ left (1 + 9x + 81x ^ 2 + \ cdots \ right) \ left (1 + 2x + 4x ^ 2 + \ cdots \ right). \ end {eqnarray *}
힌트 : 단순화 $3^{2n+1}+2^{n+2}$ 모듈로 $7$, 사실을 사용하여 $3^{2n+1}=3\cdot 3^{2n}$ 과 $3^2\equiv2\pmod7$.
$3^{2n + 1} + 2^{n+2} = 3\cdot 3^{2n} + 2^2\cdot 2^n = 3\cdot(9)^n + 4\cdot s2^n\equiv 3\cdot(2)^n + 4\times 2^n = 7\cdot 2^n\equiv 0\pmod 7$.
$3^{2n+1}+2^{n+2}=3\times9^n+4\times2^n=7\times2^n+3\times(9^n-2^n)$
$=7\times2^n+3\times(9-2)(9^{n-1}+\cdots+2^{n-1})=\color{red}7\times2^n+3\times\color{red}7(9^{n-1}+\cdots+2^{n-1})$