이다 $(4+\sqrt{5})$ 최고의 이상 $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?
정수 영역 고려 $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. 이다$(4+\sqrt{5})$ 최고의 이상 $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?
다음과 같은 기본적인 사실을 알고 있습니다. 우리가 {식} 시작 \ \ mathbb {Z} \ 왼쪽 [\ FRAC {1+ \ SQRT {5}} {2} \ 오른쪽 = \ 좌측 \ {\ FRAC {m + n \ SQRT {5}} { 2} : m, n \ in \ mathbb {Z} \ text {둘 다 짝수 또는 둘 다 홀수} \ right \}. \ end {등식}
모든 $\frac{m + n \sqrt{5}}{2} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$, 평소와 같이 규범을 정의합니다 : \ begin {equation} N \ left (\ frac {m + n \ sqrt {5}} {2} \ right) = \ frac {m ^ 2-5n ^ 2} {4}. \ end {equation} 이후$m, n$둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수이면 노름이 정수라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이 사실에서 쉽게 볼 수 있습니다$\frac{m + n \sqrt{5}}{2}$ 단위입니다 $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ 경우에만 $m^2 - 5n^2=4$ 또는 $m^2 - 5n^2=-4$. 이제부터$N(4+\sqrt{5})=11$ 우리는 쉽게 얻을 $4+\sqrt{5}$ 환원 불가능한 요소입니다. $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. 만약$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ 고유 한 분해 영역이었고 $(4+\sqrt{5})$ 최고의 이상 $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. 그러나 나는$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$고유 한 분해 도메인입니다. 누군가 알고 있습니까?
관심을 가져 주셔서 대단히 감사합니다.
답변
요구 $A = \mathbb Z \left[ \frac{1 + \sqrt 5}2\right]$. 우리는$A / (4+\sqrt 5) \cong \mathbb Z/11 \mathbb Z$, 그래서 이상 $(4 + \sqrt 5)$ 최대입니다.
같이 $N(4 + \sqrt 5) = 11$, 요소가 $0, 1, \ldots, 10$ 쌍으로 일치하지 않는 모듈로 $4 + \sqrt 5$.
모든 요소 $A$ 정수 모듈로에 합동 $4 + \sqrt 5$: 실제로, 그것이 형식이라면 $a + b \sqrt 5$ 와 $a, b \in \mathbb Z$ 적절한 정수배를 뺄 수 있습니다. $4 + \sqrt5$ 착륙하다 $\mathbb Z$. 형식의 경우$(a+b\sqrt5)/2$ 와 $a, b$ 홀수, 우리는 뺄 수 있습니다 $$\frac{1 + \sqrt5}2 \cdot (4 + \sqrt5) = \frac{9 + 5\sqrt5}2$$ 착륙하다 $\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt5$.
링 동형을 고려하십시오 $$\mathbb Z / (11) \to A / (4+\sqrt5) \,.$$ 첫 번째 관찰에서는 주사제입니다. 두 번째로 그것은 추측입니다.
숫자 필드 $K=\Bbb Q(\sqrt{5})$ Minkowski 경계가 만족하기 때문에 클래스 1이 있습니다. $B_K<2$. 따라서 정수의 고리$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ 심지어 PID이므로 UFD입니다.
반면에 $\mathcal{O}_K/(4+\sqrt{5})$ 필드이므로 이상적인 $(4+\sqrt{5})$ 프라임입니다.
예, $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$그것은 norm-Euclidean 이기 때문에 UFD 입니다.