이다 $(a+1)^n-a^n$ 나눌 수있는 $n$? [복제]

Question

만약 $n\geq 2$ 프라임이고 $a\geq 1$ 정수이면 $(a+1)^n-a^n$ 나머지를 남긴다 $1$ 모듈로 $p$.

만약 $n$ 짝수 또는 배수 $3$, 그런 다음 다시 ad-hoc $(a+1)^n-a^n$ 결코 나눌 수 없습니다 $n$.

시뮬레이션을 통해 모두에게 동일해야합니다. $n$. 이것을 어떻게 증명할까요?

증명 $(a+1)^n-a^n$ 결코 나눌 수 없습니다 $n$.

Answer 1

모순을 위해 존재한다고 가정하십시오. $n$ 과 $a$ 그런 $n$ 분할 $(a+1)^n-a^n$. 고르다$n$ 그래서 가장 작은 소인수가 $p$ 의 $n$ 최소입니다 (OP는 $p\ge5$), 쓰기 $n=mp$. 그런 다음 우리는$(a+1)^{mp} \equiv a^{mp}\pmod p$, 또는 동등하게 $(a+1)^{m} \equiv a^{m}\pmod p$ Fermat의 작은 정리에 의해, 또는 동등하게 다시 $(a+1)^{\gcd(m,p-1)} \equiv a^{\gcd(m,p-1)}\pmod p$. 이것은$\gcd(m,p-1)>1$; 하나,$m$ 다음보다 작은 소수로 나눌 수 없습니다. $p$ 모순되는 가정에 의해 $\gcd(m,p-1)>1$ 모든 소수 분할 이후 $\gcd(m,p-1)>1$ 기껏해야 $p-1$.