이다 $f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^6}$ 차별화 가능 $(0,0)$? [복제]

Question

다음 기능은 $(0,0)$?

$$ \ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^6} & \text{if } (x,y) \ne (0,0), \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0). \end{cases} $$

나는 두 편미분 모두가 $0$, 다음 제한을 계산하려고했습니다.

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{xy^3}{x^2+y^6}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{(x^2+y^6) \sqrt{x^2+y^2}}$$

그리고 막혔습니다. 압착 정리를 시도했지만 여전히 계산할 수 없었습니다.

이 한도를 어떻게 계산할 수 있습니까?

Answer 1

그것은 연속적이지 않습니다. $(0,0)$. 힌트: $f(y^3,y)=\dfrac12$ 만약 $y\ne0$.

Answer 2

연속성 이후 미분 가능성에 대한 필요 조건이라고 불러 미분 가능성 연속성 의미 에 의해을$y^3=v \to 0$ 극좌표를 사용하여

$$\frac{xy^3}{x^2+y^6}=\frac{xv}{x^2+v^2}=\cos\theta\sin \theta$$