이항 계수 합계 [닫기]

Question

여부에 대한 아이디어 $$\sum_{i = 0}^b(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i}$$ 닫힌 공식이 있습니다. $a$ 과 $b$ (그리고 그것이 무엇인지에 대해)?

그것은 $b \le a$.

Answer 1

다음은 그 표현이 $0$. 신원의 양측은 수를 계산합니다$(b-1)$-하위 집합 $\{1,\dots,a+b-1\}$ 포함하는 $\{1,\dots,b\}$. 때문에$b > b-1$,이 카운트는 분명히 $0$, RHS 확립. LHS의 경우 포함-제외를 적용하십시오.$b$ 피해야 할 속성은 $j$ 나타나지 않는다 $j \in \{1,\dots,b\}$. 보다 일반적으로이 주장은$$\sum_{i=0}^b (-1)^i \binom{b}{i} \binom{a+b-1-i}{k} = 0$$ ...에 대한 $k < b$, 필요하지 않습니다. $b \le a$.

Answer 2

이것은 항상 0입니다. 조합하여 고려하십시오$a + b - 1$불알. 고르다$a$ 볼만 볼 수 있도록 흑백으로 채색합니다. $1, \ldots, b$검정색 일 수 있습니다. OP의 합은 짝수와 홀수 검은 색 공이있는 색상의 차이입니다 ($i$검은 공의 수). 그러나 모든 세트의 유효한 색상$S$ 크기 $a$취소하십시오. 과연,$B = S \cap \{1, \ldots, b\}$ 비어 있지 않으므로 합계는 $\sum_{A \subseteq B} (-1)^{|A|} = 0$.

Answer 3

$(1+x)^b=\sum_{k=0}^{b} \binom{b}{k}x^k$

지금, $\binom{a+b-1-i}{a-i}=\binom{a+b-1-i}{b-1}$...$(1)$

과, $(1+x)^{-b}=1-\binom{b}{b-1}x+\binom{b+1}{b-1}x^2-..\color{cadetblue}{(-1)^{a-b}\binom{a-1}{b-1}x^{a-b}+(-1)^{a-b+1}\binom{a}{b-1}x^{a-b+1}......+(-1)^{a}\binom{a+b-1}{b-1}x^{a+1}}+.... \tag{2}$

(1)과 (2)를 곱하면 계수가 $x^a$ rhs에서 $$(-1)^a\sum_{I=0}^{b}(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i}$$.

하지만 왼쪽 $(1)×(2)$ 따라서 계수는 1입니다. $x^a, a\geq 1$ 이다 $0$.

그 후, $$\sum_{I=0}^{b}(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i}=0$$