일반 확장의 요소 순위 대 이름 순위
나는 때때로 몇몇 논쟁에서 사용되는 다음 사실을 본다.
가정하다 $M[G]$ 의 일반적인 확장입니다. $M$ 강제로 $\mathbb P$ 그리고 가정 $x\in M[G]$ 계급이있다 $<\gamma$, 어디 $\gamma$ 순위보다 약간 높은 한계 서수입니다.$(\mathbb{P})$. 그러면 이름이 있습니다$\tau\in M^\mathbb{P}$ 그런 $\tau_G=x$ 과 $\tau$ 계급이있다 $<\gamma$.
예를 들어,이 사실은 Reitz의 The Ground Axiom 에서 Lemma 7.1 증명의 첫 번째 단락 끝에서지면 모델을 정의 할 수 있음을 증명하는 데 사용됩니다 .
하지만 어떻게 증명해야할지 모르겠습니다. 어떤 도움을 주셔서 감사합니다!
편집 후 추가 : 추가로 가정하면 $\gamma$ 이다 $\beth$-고정 점 (동등하게, $H_\gamma=V_\gamma$. 이것은 위에서 언급 한 Lemma 7.1의 특별한 경우에 적용됩니다.) 그러면 다음 주장이 작동한다고 생각합니다.
순위 유도를 통해 $x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, 그러면 이름이 있습니다 $\sigma\in H_\gamma\cap M^{\mathbb{P}}$ 그런 $\sigma_G=x$. 따라서 이것이 다음보다 낮은 등급의 모든 세트에 적용된다고 가정합니다.$x$. 따라서 각각$y\in trcl(x)$ 이름이있다 $n(y)$ 순위가 낮은 $\gamma$. 이제 그 모든 이름을 모으고$z=\{n(y)\mid y\in trcl(x)\}$. 이후$x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, 우린 알아 $|trcl(x)|=\kappa<\gamma$. 이것은 또한$|z|=\kappa$. 앞의 카디널리티 주장은 모두$M[G]$, 우리는 추측을 수정합니다. $f:\kappa\to z$ 에 $M[G]$.
허락하다 $\rho$ 이름이되다 $x$ 과 $\tau$ 이름이되다 $z$. 진실 기본형에 따라 우리는$p\in G$ 그런 $$ p\Vdash \rho\in (H_\gamma)^{M[G]} \wedge \text{ every element of } \rho \text{ has a name of rank } <\gamma \\ \wedge \tau \subseteq \check{(H_\gamma)} \wedge\dot{f}:\kappa \to \tau \text{ is a surjection} $$
그런 다음 낮은 순위 이름을 정의합니다. $\sigma$ ...에 대한 $x$. 각각$\alpha<\kappa$, 우리는
$$ X_\alpha = \{ q \in \mathbb{P} \mid \ (\exists \pi \in H_{\gamma}\cap M^{\mathbb{P}})~ q \leq p \wedge q \Vdash (\dot{f}(\alpha)=\check{\pi} \wedge \pi \in \rho)\} $$ 다시 말해, $X_\alpha$ 아래 조건을 수집합니다. $p$ 요소를 강제 (평가)합니다. $z$ 의 요소가되다 $x$.
이제 각각 $X_\alpha$, 최대 안티 체인 수정 $A_\alpha$교차합니다. 각각$\alpha<\kappa$ 과 $q\in X_\alpha\cap A_\alpha$, 일부가 있습니다 $\mathbb P$-이름 $v(\alpha,q)$ 그런 $q\Vdash v(\alpha,q)\in\rho\wedge \dot f(\alpha)=\check{v(\alpha,q)}$. 이제 이름을 정의 할 수 있습니다.$\sigma$ 되려고 $$ \sigma = \{(\pi,q)\mid (\exists\alpha)( \alpha < \kappa \wedge q \in X_{\alpha} \cap A_{\alpha} \wedge \pi = v(\alpha,q))\} $$ 그때 $\sigma$ 의 이름입니다 $H_\gamma\cap M^{\mathbb P}$, 및 $p\Vdash \sigma=\rho$.
두 번째 편집 : 위에 스케치 된 특수 사례에 중복 (?) 이있는 것 같습니다. 그럼에도 불구하고 인용 된 더 강력한 주장을 주장하는 방법을보고 싶습니다.
답변
나는 일할 것이다 $V$ 대신에 $M$. 다음 증명이 작동한다고 생각합니다.$\mathsf{ZFC^-}$ (즉, $\mathsf{ZFC}$ 파워 세트없이 컬렉션과 잘 주문하는 원칙) $\mathcal{P}(\mathbb{P})$. (특히$M=H_\theta$ 대형 일반용 $\theta$.)
정리. 허락하다$x\in V^\mathbb{P}$ 그런 이름이 $\operatorname{rank}x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$ 과 $\gamma$ 서 수가보다 크다 $\operatorname{rank}\mathbb{P}$. 만약$p\Vdash \operatorname{rank}x=\check{\gamma}$, 그러면 $\tau\in V^\mathbb{P}$ 그런
$p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$, 및
$\operatorname{rank}\tau\le\gamma_0+3n$, 어디 $\gamma=\gamma_0+n$ 약간의 제한 $\gamma_0$ 과 $n\in\omega$.
서수에 대한 몇 가지 표기법을 소개하겠습니다. $\alpha$, $\alpha^*$ 과 $\alpha^@\in\omega$ 그런 서수이다 $\alpha=\alpha^*+\alpha^@$ 과 $\alpha^*$ 한계 서수입니다.
나는 순위에 귀납법을 사용할 것입니다 $x$. 일반성을 잃지 않고 우리는
만약 $(y,q)\in x$ 그때 $q\le p$, 및
(하향 친밀감) if $(y,q)\in x$ 과 $r\le q$, 다음 $(y,r)\in x$
교체하여 $x$ ...에 $$x'=\{(y,r)\mid \exists q (y,q)\in x \text{ and } r\le p,q\}.$$ 이후 $\operatorname{rank} x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$, 우리는 $\operatorname{rank}x'\le\operatorname{rank}x$.
그런 다음 각각 $(y,q)\in x$, $q\Vdash \operatorname{rank}y<\check{\gamma}$. 최대 안티 체인 찾기$A_{y,q}$ 이하 $q$ 가치를 결정하거나 $\operatorname{rank}y$; 즉,$r\in A_{y,q}$ 다음 서 수가 있습니다 $\beta_{y,q,r}<\gamma$ 그런 $r\Vdash \operatorname{rank}y=\check{\beta}_{y,q,r}$.
귀납적 가설에 의해 우리는 $\tau_{y,q,r}$ 그런 $r\Vdash y=\tau_{y,q,r}^{\dot{G}}$ 과 $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@.$$ 이제 가져가 $$\tau=\{(\tau_{y,q,r},r)\mid (y,q)\in x\text{ and }r\in A_{y,q}\}.$$ 그럼 우리는 증명할 수 있습니다 $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$. 순위를 확인하는 것이 남아 있습니다.$\tau$. 우리는 그것을 볼 수 있습니다$$\operatorname{rank}(\tau_{y,q,r},r)\le\max(\operatorname{rank}r, \beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@)+2$$
사례 1. 만약 $\gamma$ 극한 서수이면 오른쪽은 엄격히 다음보다 작습니다. $\gamma$. 그 후$\operatorname{rank}\tau\le\gamma$.
사례 2. If $\gamma=\gamma_0+n$ 약간의 제한 $\gamma_0$ 과 $1\le n<\omega$, 다음 $$p\Vdash \forall y\in x (\operatorname{rank} y\le\check{\gamma}_0+\check{n}-1).$$ 따라서 해당 $\beta_{y,q,r}$ 만족하다 $\beta_{y,q,r}\le \gamma_0+n-1$, 따라서 $\tau_{y,q,r}$ 만족하다 $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\gamma_0+3(n-1).$$ 나머지 주장은 직접적이며 $\operatorname{rank} \tau\le\gamma_0+3n$.