일반 커버링 공간-연결된 공간에 대한 동등한 정의
덮는 공간 $p: Y \to X$이다 정상적인 경우 모든$ x \in X$ 그리고 모두를 위해 $x_1', x_2' \in p^{-1}(x)$ 데크 변형이 있습니다 $\phi$ 와 $x_2' = \phi(x_1')$.
나는 그것을 보여달라고 요청 받는다. $X$입니다 연결 ,이 조건은 하나가 존재한다는 것과 같습니다$x_0 \in X$ 그래서 모두를 위해 $x_1', x_2' \in p^{-1}(x_0)$, 데크 변환이 있습니다 $x_1'$ ...에 $x_2'$. 한 방향은 간단하고 다른 방향은 문제가 있습니다.
나는 세트를 정의하는 것에 대해 생각했다 $A$ 포인트 세트가 될 $X$데크 변환에 의해 다른 것을 가르치기 위해 매핑되지 않은 섬유에 포인트가 존재합니다. 내가 그것을 보여줄 수 있다면$A$열려 있고 닫혀 있으면 끝납니다. 그러나 이것을 어떻게 보여줄지 잘 모르겠습니다. 이것이 올바른 접근 방식입니까? 그렇다면 어떻게 계속해야합니까?
답변
그렇게 말해봐 $x\in X$ 재산이있다 $(\star)$ 언제든 $y_1,y_2\in p^{-1}(x)$ 데크 변형이 있습니다 $\phi:Y\rightarrow Y$ 와 $\phi(y_1)=y_2$.
가정 $x_0\in X$ 있다 $(\star)$. 그럼 어떤 점$x$ 이웃에 포함 $U\subseteq X$ 의 $x_0$ 그 위에 $p$ 사소한 것도 있습니다 $(\star)$. 만약$V\subset X$ 두 번째 공개 하위 집합입니다. $X$ 그 위에 $p$ 사소하고 $U\cap V\neq\emptyset$, 그러면 포인트가 있습니다 $x\in V\cap U\subseteq V$ 와 $(\star)$, 그래서 위의 모든 포인트에 의해 $V$ 있다 $(\star)$.
이제 $U_1,\dots, U_n\subseteq X$ 열린 부분 집합의 유한 체인입니다. $1)$ $x_0\in U_1$, $2)$ $U_i\cap U_{i+1}\neq\emptyset$ 각각 $i=1,\dots,{n-1}$, $3)$ $p$ 각각에 대해 사소한 $U_i$. 이전 관찰을 도입함으로써 우리는 각 지점의$U_i$ 있다 $(\star)$, 특히 각 지점 $U_n$ 있다 $(\star)$.
기본적인 아이디어는 분명합니다. 완료하려면 두 가지 점이$X$ 연결될 때 사소한 개방 세트의 유한 체인으로 결합 될 수 있습니다.
자세한 내용은 $\mathcal{U}$ 공개적으로 덮다 $X$. 에 대한$V\in\mathcal{U}$ 놓다 $$\mathcal{U}(V)=\{W\in\mathcal{U}\mid \exists\, U_1,\dots,U_n\in\mathcal{U},\, V\cap U_1\neq\emptyset,\;W\cap U_n\neq\emptyset,\;U_i\cap U_{i+1}\neq\emptyset,\;\forall i=1,\dots,n-1\}$$ 쓰기 $\widetilde V=\bigcup_{U\in\mathcal{U}(V)}U$. 만약$V_1,V_2\in\mathcal{U}$, 다음 $\widetilde V_1\cap\widetilde V_2\neq\emptyset$ 경우에만 $\mathcal{U}(V_1)=\mathcal{U}(V_2)$ 경우에만 $\widetilde V_1=\widetilde V_2$. 그러므로$\{\widetilde V\mid V\in\mathcal{U}\}$ 덮음이다 $X$ 쌍으로 분리 된 클로 펜 세트로.
마지막으로 $X$연결되었습니다. 우리는$\mathcal{U}$ 어떤 덮음이든 $X$ 사소한 오픈 세트로 $p$. 위의 주장은$\{\widetilde V\mid V\in\mathcal{U}\}$ 단일 세트 포함 $X$. 따라서$X$ 유한 한 세트 체인으로 연결되어 있습니다. $\mathcal{U}$. 열린 문단으로 돌아 가면 어떤 점이$x_0\in X$ 재산이있다 $(\star)$, 다른 모든 요점도 마찬가지입니다.
귀하의 접근 방식은 정확하지만 내가 볼 수있는 한 추가 가정이 필요합니다. $X$.
요구 $x \in X$정상 점 의$p$ 모두라면 $y_1, y_2 \in p^{-1}(x)$ 데크 변형이 있습니다 $\phi$ 와 $y_2 = \phi(y_1)$. 먼저 다음을 증명하겠습니다.
정리. 허락하다$U$균등하게 연결된 열린 하위 집합 이어야합니다.$X$. 일부 경우$\xi \in U$ 정상적인 지점입니다 $p$, 다음 모두 $x \in U$ 정상적인 포인트입니다 $p$.
$p^{-1}(U)$ 개방의 분리 된 결합입니다 $V_\alpha \subset Y$ 에 의해 매핑되는 $p$ 동종 상으로 $U$ ( "시트 분해 $p^{-1}(U)$"). $V_\alpha$ 의 연결된 구성 요소입니다 $p^{-1}(U)$. 허락하다$x \in U$ 과 $y_i \in p^{-1}(x)$. 독특한$\alpha_i$ 그런 $y_i \in V_{\alpha_i}$. 허락하다$\eta_i \in p^{-1}(\xi)$ 에 포함 된 고유 포인트 $V_{\alpha_i}$. 데크 변형이 있습니다$\phi$ 그런 $\eta_2 = \phi(\eta_1)$. 세트$\phi(V_{\alpha_1})$ 연결된 구성 요소 $p^{-1}(U)$ 그런 $\eta_2 = \phi(\eta_1) \in \phi(V_{\alpha_1})$. 그러므로$\phi(V_{\alpha_1}) = V_{\alpha_2}$. 따라서$y_2 = \phi(y_1)$.
연결성이 필요한 이유 $U$? 연결되지 않은 경우 시트 분해$p^{-1}(U)$고유하지 않으므로 ( 투영 덮기 : 균일하게 덮은 세트의 시트는 무엇입니까? 참조 ), 따라서 시트 분해$\{\phi(V_\alpha) \}$ 의 $p^{-1}(U)$ 다를 수 있습니다 $\{V_\alpha \}$ 그리고 우리는 $\phi(V_{\alpha_1}) = V_{\alpha_2}$. 따라서 우리는$y_2 = \phi(y_1)$. 물론 데크 변형 이있을 수 있습니다$\phi'$ 그런 $y_2 = \phi'(y_1)$, 그러나 그것을 찾는 일반적인 전략은 없습니다 (그리고 아마도 그것은 $\phi$).
당신은 $p^{-1}(U) \approx U \times F$ 이산 $F$, 따라서 확실히 모두 $x \in U$ 사소한 덮개의 정상적인 지점입니다 $p_U : p^{-1}(U) \to U$. 즉, 모두를 위해$x \in U$ 그리고 다 $y_i \in p^{-1}(x)$ 갑판 변형이 있습니다 $\phi_U$ ...에 대한 $p_U$ 와 $y_2 = \phi_U(y_1)$. 그러나 가정 할 이유가 없습니다$\phi_U$ 데크 변환으로 확장 $p$.
이제 우리는 $X$되고 로컬 접속 .
허락하다 $N$ 정상적인 점의 집합을 나타냅니다 $p$. 각각 이후$x \in X$ 균등하게 덮힌 열린 이웃이있는 경우 위의 기본형은 $N$ 과 $X \setminus N$ 열려있다 $X$. 그러므로$N = X$.