일부 이유 $r_{i} \in R$ 그리고 일부는 아닙니다 $r_{i} \in R[X]$?
여기에 @Xam의 답변을 읽고있는 질문이 있지만 이유가 궁금합니다.
1- 나는 두 번째 단락, 특히 그가 "As $P_{n+i+1}\mid P_{n+i}$ 그것은 다음과 같다 $P_{n+i}=r_iP_{n+i+1}$ 일부 $r_i\in R$. "그가 일부를 위해 말한 이유 $r_{i} \in R$ 그리고 일부는 아닙니다 $r_{i} \in R[X],$우리는 2 개의 다항식의 나눗셈에 대해 말하고 있지 않습니까? 누구든지 제발 설명해 주시겠습니까?
2- 또한 다음 단락에서 두 선행 계수 사이의 관계를 얻지 못했습니다. 왜 연관되어야합니까? 두 다항식은 동일한 차수를 가질 수 있지만 선행 계수는 둘 중 어느 것도 다른 것의 배수가 아닙니다. 누구든지 나에게 이것을 설명 할 수 있습니까?
3- 마지막 질문, 추가하는 이유 $n$ ...에 $k,$왜 그렇게해야합니까? 할 수 없다$k$ 안에있다 $n$?
답변
그는 그 전에 결론을 내렸다 $\deg P_n = \deg P_n+i$ 모든 $i\in \mathbb{N}$. 이제$P_{n+i+1}∣P_{n+i}$ 그것은 다음과 같다 $P_{n+i}=r_iP_{n+i+1}$ 일부 $r_i\in R[X]$. 하지만$$\deg P_{n+i} = \deg P_{n+i+1}=\deg r_i + \deg P_{n+i+1}$$ (여기서 우리는 $R$정수 영역입니다). 이것은 결론으로 이어집니다$r_i$ 일정하므로 $r_i\in R$.
선행 계수의 관계 : If $P_{n+i}=r_iP_{n+i+1}$ 해당 선행 계수는 다음과 같습니다. $a_{n+i}$ (에 대한 $P_{n+i}$) 및 $a_{n+i+1}$ (에 대한 $P_{n+i+1}$), 그러면 다항식 곱셈의 정의에 따라 우리는 $a_{n+i}= r_ia_{n+i+1}$.
에서 $n$, 정도는 고정되어 위의 주장을 허용합니다. 그런 다음 나중에 체인이$R$고정됩니다. 나머지 인수는 둘 다 일부 인덱스에서 고정되어 있어야합니다. 선도 계수에 의해 생성 된 이상 사슬은 더 일찍 고정 될 수있는 반면, 사선은 다양한 정도를 가질 수 있습니다 (단원 다항식을 사용한 곱셈을 생각하십시오).