이류-확산 방정식의 드리프트 속도

Question

이류-확산 방정식은 다음과 같이 주어진다. $$\partial_{t}\rho=-\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}_{drift}\right)+\nabla\cdot\left(D\nabla\rho\right)\equiv-\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}_{current}\right).$$ 이 드리프트 속도가 $\mathbf{v}_{drift}$ 뉴턴 운동 방정식 충족 $$m\frac{d}{dt}\mathbf{v}_{drift}=\mathbf{F},$$ 어디 $\mathbf{F}$ 모든 외부 비확산 힘입니까?

그렇다면이 방정식의 총 시간 도함수는 체인 규칙을 사용하여 확장되어야합니다. $$\frac{d}{dt}\mathbf{v}_{drift}=\partial_{t}\mathbf{v}_{drift}+\mathbf{v}_{drift}\cdot\nabla\mathbf{v}_{drift}$$ 또는 $$\frac{d}{dt}\mathbf{v}_{drift}=\partial_{t}\mathbf{v}_{drift}+\mathbf{v}_{current}\cdot\nabla\mathbf{v}_{drift}?$$ 둘 중 어느 쪽이 맞습니까?

Answer 1

가장 일반적으로 ${\bf v}_{\rm drift}=- \kappa \nabla V$드리프트는 저항성 재료의 전류와 유사한 기원을 갖기 때문입니다. 실제로, 평형 상태에서 순 전류가 0이므로이를 사용하여 아인슈타인 관계 를 유도 할 수 있습니다 . 예를 들어 아인슈타인의 유명한 1905 년 관계가 있습니다.$$ D= \frac{k_{\rm B}T}{6\pi \eta r} $$ 확산 계수 사이 $D$ 입자 크기의 브라운 운동 $r$ 그리고 점도 $\eta$그들이 움직이는 유체의. 이를 통해 아인슈타인은 Avogadro의 수를 추정 할 수있었습니다.

또는 일반적인 유체 흐름에서 확산 될 수 있습니다.이 경우 ${\bf v}_{\rm drift}$Navier Stokes 방정식을 따를 것 입니다.