임의의 필드에 대한 내적의 제곱근을 해석하는 방법은 무엇입니까?

Nov 24 2020

내부 제품 공간에서 표준 $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$유도됩니다. 나는 거의 항상 실수 나 복소수를 다뤘다는 것을 알고 있으므로 제곱근을 당연한 것으로 간주했습니다.

Wolfram의 내부 제품 항목 읽기 (https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html), " 내적과 함께 벡터 공간을 내적 공간이라고합니다.이 정의는 모든 필드의 추상적 인 벡터 공간에도 적용됩니다. "이것은 공간의 맥락에서 공리를 도입 한 후에 말한 것 입니다.$\mathbb{R}$.

임의의 필드에서 제곱근을 해석하는 방법을 모르기 때문에 혼란 스럽습니다. 분명한 방법은 요소로 정의하는 것입니다.$a \in \mathbb{F}$ 그런 $a^2 = \langle x,x\rangle$. 그러나 내가 가진 문제는 그러한 요소가 현장에 존재하는지 여부를 어떻게 알 수 있습니까? 이것은 링 이론의 표준 결과입니까?

내 이해는 항상 내부 제품 공간 (및 표준 공간)이 실수 또는 복소수에 대해서만 정의 된다는 입니다. 임의의 필드에 대해 어떻게 구성합니까?

답변

2 reuns Nov 24 2020 at 22:45

주장이 말이되지 않습니다. 벡터 공간에서$V$ 임의의 필드 위에 $k$ 우리는 쌍 선형 형태를 가지고 있습니다 $b(x,y)$. 언제$k=\Bbb{C}$ 우리는 또한 sesquilinear 형태를 봅니다. 이것은 두 번째 인자가 automorphism을 적용한 후 선형이라는 것을 의미합니다. $\sigma$필드의 (복잡한 결합). 그러나 우리는$V$$k^\sigma$ 벡터 공간을 선형으로 만들기 위해 $b$ 정말 선형입니다.

$q(x) = b(x,x)$ 2 차 형태입니다.

첫 번째 바람직한 속성은 $b(x,y)=b(y,x)$ (언제 $char(k)\ne 2$ 2 차 형식과 대칭 쌍 선형 형식 사이에는 일대일 대응이 있습니다.)

두 번째는 $q(x)=0$ iff $x=0$. 그 경우$q$ 이방성이라고합니다.

언제 $k$ 순서가 지정된 필드입니다. 세 번째 필드가 있습니다. $\forall x,q(x)\ge 0$. 이전 것들과 함께 이것은 "$b$ 내부 제품입니다. " $\|x\|=\sqrt{q(x)}$ 일종의 규범입니다 ( $k$ 의 하위 필드가 아닙니다. $\Bbb{R}$ 그때 $\|x\|$실제 가치가 없으므로 약간 다릅니다). 당신은 우리가 항상 가지고 있다고 생각합니까$\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$ ?

$\sqrt{q(x)}$ 대수적 확장의 요소입니다. $k$ 요소의 모든 제곱근을 더하여 얻은 $\ge 0$, 그것도 통해 주문됩니다 $\sqrt{a}\ge \sqrt{b}$ iff $a\ge b$, 그런 다음 명령법을 적용합니다.

실제 가치 규범은 다른 모든 분야에 존재합니다. $\|x\| = 0$ 만약 $x_1=x_2=0$$=1$ 그렇지 않으면 실제 가치 기준입니다 $k^2$ 모든 필드에 대해 사소한 절대 값에 대한 표준 $|a|_{tr}= 0$ 만약 $a=0$$=1$ 그렇지 않으면 $\|ax\|=|a|_{tr} \|x\|$.