IMO 2003 / G1 : $PQ=QR$ 이등분하는 경우에만 $\angle ABC$ 과 $\angle ADC$ 와 동시 다 $AC$.

Aug 18 2020

허락하다 $ABCD$순환 사변형이어야합니다. 허락하다$P$, $Q$, $R$ 수직선의 발 $D$ 라인에 $BC$, $CA$, $AB$, 각각. 보여줘$PQ=QR$ 이등분하는 경우에만 $\angle ABC$$\angle ADC$ 와 동시 다 $AC$.

다음은 다이어그램입니다.

투영 지리를 사용하고 싶습니다.

나의 진도 : 아주 잘 알려져 있습니다$P,Q,R$ 동일 선상에 있음 [심슨 라인]

자, 여기에 기본형이 있습니다.

Lemma : 순환 쿼드가 주어지면$ABCD$, 각도 이등분 $\angle ABC$$\angle ADC$ 와 동시 다 $AC$ 경우에만 $ABCD$ 고조파입니다.

증명 : 경우$ABCD$ 고조파라면 $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ , 이제 각도 이등분 정리를 적용하면 끝났습니다.

우리는 반대 방향을 증명하기 위해 뒤로 갈 수 있습니다.


따라서 다시 표현 된 질문은 다음과 같습니다.

허락하다 $ABCD$순환 사변형이어야합니다. 허락하다$P$, $Q$, $R$ 수직선의 발 $D$ 라인에 $BC$, $CA$, $AB$, 각각. 보여줘$Q$ 의 중간 점입니다 $PR$ 경우에만 $ABCD$ 고조파 :

이제, Projective geo를 사용하라는 요청을 받았으므로 $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. 이제 얻을 수 있습니다$P_{\infty}$심슨선과 평행선을 생각했는데 어느 선으로 진행할 수 없습니다. 나는 평행선을 취했다$PR$ ...을 통하여 $D$,하지만 계속할 수 없습니다 ..

답변

3 Yesit'sme Aug 18 2020 at 21:29

넓히다 $DQ$ 원을 만나다 $X$그러면 BX는 주석에서 언급했듯이 simson 라인과 평행합니다.

부분 인 경우 : 지금,하자 $BX$ 만나다 $AC$ ...에서 $Y$. 관점을 $B$ 줄에 $AC$ 그것을 보여주기 위해 $(Y,Q,A,C)$ 고조파. 이제 관점을 $X$ 그것을 보여주기 위해 원에 $ABCD$고조파입니다. 다른 방향도 비슷하게 증명 될 수 있습니다.