인덱스 순서 $\Lambda^\mu_{\space\space\nu}$ [복제]
위층과 아래층 인덱스 순서에 대해 몇 가지 질문이 있습니다. 예를 들어 보겠습니다.$\Lambda^\mu_{\space\space\nu}$ 다음 방정식이 충족되면 Lorentz 트랜스 폼입니다. $$ \Lambda^\mu_{\space\space\sigma} \eta^{\sigma \tau}\Lambda^\nu_{\space\space\tau}=\eta^{\mu \nu}. $$ 행렬 표기법에서는 $$ \Lambda \eta^{-1}\Lambda^T =\eta^{-1}. $$
내 질문은 : 왜 우리는$\mu$ 전에 $\nu$ 표현에서 $\Lambda^\mu_{\space\space\nu}$? (단지 수직이 아닌)
나는 이것에 대해 잠시 생각해 보았고 다음과 같은 아이디어를 얻었습니다.
- 퍼팅 $\mu$ 전에 $\nu$표기법은 행렬 곱셈의 일반적인 순서입니다. 보통 우리는$\Lambda^\mu_{\space\space\nu} x^\nu$ 보다는 $ x^\nu\Lambda^\mu_{\space\space\nu}$, 우리는 $\nu$"더 가깝게"되어야합니다. 이것은 (반 변성) 벡터를 곱하는 행렬을 작성하는 순서와 일치합니다.$\Lambda \mathbf x$.
- 예를 들어 포인트 1에는 예외가 있습니다. $\Lambda^\mu_{\space\space\sigma} \eta^{\sigma \tau}\Lambda^\nu_{\space\space\tau}$, 두 번째 Lorentz 행렬을 전치하기 때문입니다.
- 그러나 인덱스가 두 개 이상인 경우 위의 아이디어는 거의 의미가 없습니다. 우리가 가지고 있고 표현한다면$A^{\mu_1\mu_2 \ldots \mu_k}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_l} x^{\nu_1}\ldots x^{\nu_n}y_{\mu_1}\ldots y_{\mu_n}$, 인덱스의 "올바른"순서가 무엇인지 아는 사람 $a$ 과 $x,y$? 수학적으로는 벡터 공간의 텐서 곱이 우리가 곱하는 순서 (동형까지)에 의존하지 않기 때문에 특정 순서에 대한 이유가없는 것 같습니다.
위의 관찰이 정확합니까? 주문에 대한 다른 이유가 있습니까?
마지막으로 우리는 다음과 같은 것을 볼 수 있습니까? $$ \Lambda^{\space\space\mu}_{\sigma}? $$ 즉, 위층 전에 아래층.
답변
여기에 더 자세한 그림이 있습니다. 단계별 :
좌표계 $x$ 시공간에서 다양한지도로 볼 수 있습니다. $M$ ...에 $\mathbf{R}^4$. 그건,$$x \colon M \to \mathbf{R}^4\ ,$$ 그래서 $\bigl(x^0(P), \dotsc, x^3(P)\bigr)$ 다양한 지점 (이벤트)의 좌표입니다. $P$.
두 개의 다른 좌표계가있을 때 $x$ 과 $y$, 우리는 $\mathbf{R}^4$ 다른 사람에게 $\mathbf{R}^4\xrightarrow{y^{-1}}M\xrightarrow{x}\mathbf{R}^4$: $$x\circ y^{-1} \colon \mathbf{R}^4 \to \mathbf{R}^4 \ ,$$ 그것이 좌표의 변화입니다.
좌표계 $x$ 또한 연관된 접선 맵이 있습니다. $$x_P' \colon \mathrm{T}_PM \to \mathrm{T}_{x(P)}\mathbf{R}^4 \equiv \mathbf{R}^4 \ ,$$마지막 동등성은 표준 동형입니다. 이것은 우리가 접하는 벡터를 나타내는지도입니다.$M$ 실수의 4 배로.
또한 좌표 변경 맵에는 연관된 접선 맵이 있습니다. $$(x \circ y^{-1})_{y(P)}' \colon \mathrm{T}_{y(P)}\mathbf{R}^4 \to \mathrm{T}_{x(P)}\mathbf{R}^4 \ ,$$ 이것은 다음과 관련된 4 배의 실수를 제공합니다. $y_P'$ 그것과 관련된 $x_P'$. 그리고 이것은$\Lambda$ 실제로는 한 좌표계에서 탄젠트 벡터의 구성 요소를 취하고 다른 좌표계의 구성 요소를 산출합니다. $\Lambda_{y(P)} := (x \circ y^{-1})_{y(P)}'$.
이 맵은 또한 소위 "2 점 텐서"로 간주 될 수 있습니다. 다른 매니 폴드의 한 지점에있는 접선 공간과 함께 다양체의 한 지점에서 접선 공간의 텐서 곱에 속하는 객체입니다. 동일한 매니 폴드의 다른 지점. (호기심 : 예를 들어 아인슈타인은 일반 상대성 이론의 원격 병렬 공식화에서 2 점 텐서를 고려했습니다.)
이 탄젠트 맵은 벡터를 매핑하므로 $\pmb{u}$ (에 $\mathrm{T}_{y(P)}\mathbf{R}^4$) 다른 벡터로 $\pmb{v}$ (에 $\mathrm{T}_{x(P)}\mathbf{R}^4$), 우리는 일반적인 "오른쪽 작업"표기법으로 연산을 작성할 수 있습니다. $$\pmb{v} = \Lambda\pmb{u}$$선형 대수의 전형 (그리고 선형 대수는 우리가하는 일입니다!) 텐서 수축으로 해석됩니다.$\Lambda$의 텐서 슬롯이 오른쪽에 있습니다.
이것이 전통적으로 낮은 인덱스 (벡터와 축소됨)가 오른쪽에있는 이유입니다.
이것은 당신에게 전체 그림과 이유를 제공하기위한 것이지만, 그것에 대해 너무 많이 걱정할 필요는 없습니다. 2 점 텐서에 대해 궁금한 점이 있으면 예를 들어 확인하세요.
- Truesdell, Toupin : The Classical Field Theories (Springer 1960), 부록. 텐서 필드 .
탄젠트 맵, 좌표계 등의 경우 우수한 참조는 항상
- Choquet-Bruhat, DeWitt-Morette, Dillard-Bleick : 분석, 매니 폴드 및 물리학. 파트 I : 기본 (개정판 Elsevier 1996).
지수 올리기 또는 내리기에 대한 추가 참고 사항 $\Lambda$
$\Lambda\colon \mathrm{T}_{y(P)}\mathbf{R}^4 \to \mathrm{T}_{x(P)}\mathbf{R}^4$두 벡터 공간 사이의 비 특이 선형 맵입니다. 그래서 그것은 역지도를 유도합니다$$\Lambda^{-1}\colon \mathrm{T}_{x(P)}\mathbf{R}^4 \to \mathrm{T}_{y(P)}\mathbf{R}^4$$ 이중 맵 (전치) $$\Lambda^{\intercal} \colon \mathrm{T}^*_{x(P)}\mathbf{R}^{4} \to \mathrm{T}^*_{y(P)}\mathbf{R}^{4}$$초기 대상의 이중에서 초기 도메인의 이중으로. 등등.
접선 맵을 사용하여 $x'$ 과 $y'$ (및 이중) 우리는 또한 더 일반적인 천체 객체를 매핑 할 수 있습니다. $\mathrm{T}_PM$ 개체에 $\mathrm{T}_{x(p)}\mathbf{R}^4$ 과 $\mathrm{T}_{y(p)}\mathbf{R}^4$ – 후자는 이들의 좌표 대표가 될 것입니다 $\mathrm{T}_PM$. 이것은 메트릭 텐서 또는 그 반대의 경우에도 마찬가지입니다.$M$. 하나의 좌표 프록시가 있습니다.$\mathrm{T}_{x(p)}\mathbf{R}^4$ (더 정확하게 $\mathrm{T}^*_{x(p)}\mathbf{R}^{4}\otimes\mathrm{T}^*_{x(p)}\mathbf{R}^{4}$) 및 다른 하나 $\mathrm{T}_{y(p)}\mathbf{R}^4$.
2 점 텐서 $\Lambda$ 하나의 공변 레그 (실제로는 기술 용어)가 있습니다. $\mathrm{T}_{y(p)}\mathbf{R}^4$, 거기에서 반 변성 벡터를 축소하고 반 변성 다리를 $\mathrm{T}_{y(p)}\mathbf{R}^4$, 거기에 반 변성 벡터를 "기탁"해야하기 때문입니다.
각 다리의 분산 유형을 변경할 수 있습니다. 예를 들어 다리를$y(P)$ contravariant, 우리가 만든 메트릭 프록시와 계약하여 $\mathrm{T}_{y(p)}\mathbf{R}^4$. 그 결과 매핑하는 새로운 2 점 텐서 또는 선형지도이며, 공동 의 벡터를$\mathrm{T}^*_{y(p)}\mathbf{R}^{4}$ 벡터에 $\mathrm{T}_{x(p)}\mathbf{R}^{4}$. 이것은 일종의 혼합 연산입니다. 좌표계에서 코 벡터를 사용합니다.$y$, 역 메트릭 텐서로 축소하고 결과 벡터를 새 좌표계에 제공 $x$ (개인적으로이 두 가지 작업을 혼합하지 않는 것이 가장 좋습니다.)
우리가 다리를 만들면 $y(P)$ 반 변형 및 다리 $x(P)$ 프록시 역 메트릭 텐서를 사용하는 공변 $y(P)$ 메트릭 텐서는 $x(P)$이면 결과는 $\Lambda^{-\intercal}$, 전치의 역 $\Lambda$. 그러나 우리는이 연산을 수행하기 위해 메트릭 텐서 대신 다른 비정 수 쌍 선형을 사용할 수 있습니다. 실제로하는 일은 좌표계에서 코 벡터를 취하는 것입니다.$y$, 일부 변환을 통해 벡터로 변환하고 좌표 표현을 시스템으로 변경 $y$, 그리고 마지막으로 초기 변환의 역을 사용하여 다시 코 벡터로 변환합니다.
간단한 대답은 인덱스에 순서를 할당 할 필요 가 없다는 것 입니다.${\Lambda^\mu}_\nu$계산을 수행하지만 행렬로 보려면 필요합니다. 행렬 표기법이 읽기 / 쓰기가 약간 더 쉽다고 말할 때 많은 사람들을 대변한다고 생각합니다. 그러나 두 가지를 번역하는 방법이 항상 명확하지는 않을 수 있으며 때로는 불가능할 수도 있습니다. 예를 들어 다음과 같이 쓸 수있는 내부 제품을 생각해보십시오.$$u\cdot v=u_\mu v^\mu=\mathbf u^T\mathbf v=\begin{pmatrix}u_1&u_2&u_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}.$$이 예에서 상위 인덱스는 열 벡터와 연결되고 하위 인덱스는 행 벡터와 연결되어 있다고 주장 할 수 있습니다. 양자 역학에 익숙 할 것입니다. 벡터를 먹는 ket과 벡터를 먹는 브래지어가 있으며 각각 열 벡터 또는 행 벡터로 표시됩니다. 이 아이디어를 강화하는 또 다른 예를 들어 보겠습니다.$$(A\mathbf v)^i={A^i}_jv^j=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$$다시 상위 색인은 '열성'과 연관되고 하위 색인은 '행성'과 연관됩니다. 매트릭스$A$ 벡터를 먹습니다 (낮은 인덱스 $j$) 다른 벡터 (상위 인덱스 $i$). 이제 카운터 예입니다. 이건 어떤가요$x^\mu g_{\mu\nu}y^\nu$? 이 경우$g$두 개의 낮은 인덱스가 있습니다. 두 개의 벡터를 먹습니다. 하지만 두 벡터를 먹는 것을 어떻게 표현할까요? 할 수있는 해킹이 있습니다. 당신은 그것을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.$$x^\mu g_{\mu\nu}y^\nu=\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$$ 그것은 본질을 정의하지 않는다는 점에 유의하십시오. $g$. 근본적으로 두 벡터를 먹는 것이지만 한 벡터를 먹고 다른 벡터를 뱉어내는 것으로 표현됩니다. 이것은 선형 함수 (벡터를 먹고 벡터를 뱉어내는 것)가 벡터와 이중이기 때문에 가능합니다. 직관적 인 방식으로 서로 변경 될 수 있습니다.
그래서 여기에서 다음과 같은 표현에 대한 아이디어를 조금 풀어 보도록 권합니다. $g_{\mu\nu}$'존재'행렬. 때때로 인덱스 표기법의 표현은 좋은 행렬과 벡터로 표현 될 수 있습니다. 당신이하는 일을 더 쉽게 볼 수 있습니다. 그러나 일반적으로 그들은 그 행렬과 같지 않습니다. 둘 사이를 전환 할 때마다 일관성 만 확인하면됩니다. 올바른 지수를 합산하여 올바른 답을 얻어야합니다. 형식으로 표현을 쓸 수있을 때$$A_{ij}B_{jk}v_k$$이러한 각 인덱스가 상위 또는 하위 일 수있는 경우 행렬 곱셈으로 안전하게 작성할 수 있습니다. 당신이 언급했듯이 우리는 서로 가깝게하기 위해 합산 된 인덱스 만 필요합니다.
그래서 당신은 어떻게 뭔가를 표현합니까? ${A^{\mu_1,\dots\mu_m}}_{\nu_1\dots\nu_n}x^{\nu_1}\dots x^{\nu_n}y_{\mu_1}\dots y_{\mu_m}$행렬 곱셈으로? 모르겠어요!
당신이 가지고 있다면 $A^{\mu_1 \mu_2 \mu_3}$ 3 차원 행렬로 생각할 수 있으므로 아이디어에 차원을 추가합니다. $A^{\mu_1 \mu_2}$매트릭스로. 페이지 "내부"로 이동하는 새로운 행 집합을 상상할 수 있습니다. 순서가 얼마나 중요한지 이해할 수 있습니다.$\mu_1$ "표준"행, 두 번째는 열, 세 번째는 $\mu_3$"페이지 내부"행에 레이블을 지정합니다. 그런 다음 인덱스 중 하나를 교환하면 3D 매트릭스의 다른 요소를 선택하는 것입니다. 그리고이 아이디어는 더 높은 차원으로 확장 될 수 있습니다.
$\Lambda$텐서가 아니라 행렬 일뿐입니다. 왼쪽의 인덱스는 행을 나타내고 오른쪽의 인덱스는 열을 나타냅니다. 하나의 인덱스를 다른 인덱스보다 높게 배치하는 것은 아인슈타인 합계를 사용하는 데 간단합니다. 텐서의 경우처럼 더 깊은 의미는 없습니다.
마지막 질문에 답하려면 : \ begin {equation} {\ Lambda_j} ^ i : = {\ left (\ Lambda ^ {T} \ right) ^ j} _i = {\ Lambda ^ i} _j \ end {equation}