인수 분해 문제 $x^4-x^3+x^2-x+1$
부분 분수를 사용하여 다음 적분을 계산하고 싶습니다. $$\int{1\over x^5+1}dx$$그래서 분모를 분해합니다.
$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$
다음 단계를 위해 인터넷에서 검색하여 분해해야 함을 알았습니다.$x^4-x^3+x^2-x+1$ 이렇게 :
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$
그리고 $a,b$ 쉽게 찾을 수 있습니다.
내 질문은 왜 계수가 $x^2,x^0$ 아르 $1$?
다시 쓸 수 있기 때문에 :
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$
그리고 내가 첫 번째 모습에서 볼 수있는 것은 $ad=1,cf=1$ 그리고 나는 그 이유를 전혀 모른다 $a=d=c=f=1$
아래에서 그의 대답을 볼 수 있습니다.
답변
일반적으로 두 다항식은 상수의 곱셈으로 주어집니다 (하나를 곱할 수 있습니다. $k$ 그리고 다른 사람 $1/k$), 그래서 당신은 $a=d=1$보장됩니다. 예를 들면$x^2+4x+4$ 다음과 같이 고려 될 수 있습니다. $(x+2)(x+2)$ 뿐만 아니라 $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$. 따라서 우리는 답을 고유하게 만들기 위해 계수 중 하나를 자유롭게 수정할 수 있습니다. 그러나 이렇게하면 다른 사람을위한 선택권이 없으므로 여기서 올바른 시작은 다음과 같습니다.$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$
물론 상수 계수에 대한 더 많은 정보를 얻기 위해 몇 가지 계산을 더 할 수 있지만 그 전에는 할 수 없습니다.
또한 약간 수정 된 다음 예제에서는 선행 계수와 상수 계수가 모두 $1$ 처음부터 잘못되었습니다.
$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$
그러나 연결된 다른 질문에서 지적했듯이이 경우에는 다항식이 회문 (자기 상호)이라는 것이 사용되었을 것입니다 (설명되지는 않음). $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ (그것은 $x^4f(1/x)=f(x)$). 이를 통해 다음과 같은 형식으로 요소를 예상 할 수 있습니다.$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ 또는 더 일반적인 $x^2-ax+1$.
모닉 (예 : 선행 계수 1) 4 차 다항식이 있다고 가정합니다. $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ 두 개의 2 차 다항식을 고려합니다.
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$
그런 다음 첫 번째 다항식의 각 계수를 다음과 같이 나눌 수 있습니다. $e$ 그리고 두 번째 다항식의 각 계수에 $e$. 이것은 다음을 생성합니다.$(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$
그러나이 두 다항식의 곱은
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$,
다음$h \times e$ = 1. $
따라서 4 차 일원 다항식은 두 개의 2 차 일원 다항식으로 고려되었습니다. 다른 사람이 인수에서 지적한 것처럼,해서 $ X ^ 0 $의 4 차 다항식의 계수가 1는 것을 의미하는 것은 아니다 $ X ^ 0 $의 두 2 정도 다항식의 계수를 각각 하나가 될 수 있습니다. 확실히 말할 수 있는 것은 두 개의 2 차 다항식에서 두 개의 $ x ^ 0 $ 계수 의 곱이 = 1이어야한다는 것입니다.
내가 올바르게 이해한다면, 원래 쿼리에서 주어진 모닉 4 차 다항식이 두 개의 모닉 2 차 계수로 분해 될 때 그 특정 4 차 계수에 대해 결과 모닉 2 차 다항식 은 $ x ^ 를 갖게됩니다. 각각 0 $ 계수 = 1.
OP의 원래 4 차 다항식에 초점을 맞춘 부록
먼저
$ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) 와 같은 4 차 다항식을 고려하십시오 . $
이것은 제품이 형태를 가질 간단한 반례 입니다 . $ x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $
편집 음, 이것은 당황 스럽습니다.
위의 반례 에 결함이 있음을 방금 깨달았습니다 . 즉, $ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) $ 가 모닉 4 차 다항식으로 결합 될 때이 4 차를 인수 분해하는 다른 방법이있을 수 있습니다. OP에 원래 제안 된 패턴에 맞는 다항식.
어쨌든,이 부록의 나머지 부분에서는 다음과 매우 유사한 방식으로 제약 조건을 살펴 봅니다. https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients 누군가가 이미 댓글을 단 링크.
이 모든 분석은 왜
$ f (x) = x ^ 4-x ^ 3 + x ^ 2-x + 1 $ 를 $ (x ^ 2-ax + 1) \ 에 인수 분해 하라는 제안이 있었는지에 대한 질문을 제기합니다.
배 (x ^ 2-bx + 1). $
나는 정말로 일어나고있는 것은이되었다는 것을 추측 추측 것을 $ F (x는) $ 그래서 고려 될 수있다.
결과적으로 학생은 추측 을 탐구하고 그것이 사실인지 확인 하도록 요청받습니다 . 탐색하면 $ a $ 및 $ b $ 에 다음과 같은 제약이 있습니다 .
(1) re $ x ^ 3 : a + b = 1. $
(2) re $ x ^ 2 : 2 + (a \ times b) = 1. $
(3) re $ x ^ 1 : a + b = 1. $
두 변수 $ a $ 및 $ b. $ 에 세 가지 제약 조건 이 있습니다 .
그러나 제약 조건 (1)과 (3)이 동일하기 때문에 제약 조건이 두 개뿐입니다.
제약 조건 (1)과 (2)가 모두 선형이더라도 (일반적으로) 솔루션을 보장하지는 않습니다 [예 : r + s = 6. 2r + 2s = 11].
현재의 경우 제약 조건 (2)는 비선형이므로 훨씬 더 불확실합니다. 참고 : 저는 여기서 얇은 얼음에 있습니다. 1 개의 선형 제약 조건과 1 개의 비선형 제약 조건을 결합한 효과를 연구 한 적이 없습니다.
그러나 의도 한대로 탐색하면 $ a $ 및 $ b $ 값을 만족 시킬 수 있습니다. $ f (x), $를 살펴보면 $ f (x) $ 에서 $ x ^ 3 $ 및 $ x ^ 1 $ 계수가 동일 하기 때문에 제약 조건 (3)이 제약 조건 (1) 과 동일하다는 것을 알 수 있습니다.
따라서 제안 된 추측은 동기 가 좋았다고 주장 할 수있다 .