제어 된 Z의 동작이 대상 제어 큐 비트를 교환하여 변경되지 않는 이유는 무엇입니까?

Question

"Quantum Computer Science"라는 책에서 오류 정정 코드를 설명 할 때이 그림을 사용하고 "control-z의 동작은 타겟과 제어 큐 비트를 교환함으로써 변경되지 않는다"고 말합니다.

이것은 cZ (control ancilla qubit 및 target codeword qubit)의 행위가 cz (control codeword qubit 및 target ancilla qubit)와 동일 함을 의미합니까? 그렇다면 그 이유는 무엇입니까?

내 이해에서 | 1> Z | 0> (첫 번째 큐비 트는 제어 큐 비트)는 Z | 0> | 1> (두 번째 큐비 트는 제어 큐 비트)와 같지 않습니다.

Answer 1

임의의 두 큐 비트 상태가있는 경우 :

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

그런 다음 적용 후 $CZ_{1 \rightarrow 2}$ 첫 번째 큐 비트에서 제어하면 다음을 얻을 수 있습니다.

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

제어 작업은 제어 큐 비트가 $|1\rangle$ 과 $Z$ 게이트는 진폭의 부호를 변경합니다. $|1\rangle$ 상태, 따라서 $CZ_{1 \rightarrow 2}$ 행동은 $|11\rangle$.

이제 행동 $CZ_{2 \rightarrow 1}$:

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

여기에서도 마찬가지입니다. $|11\rangle$비슷한 이유로 변경해야합니다. 이것은 행렬을 사용하여 볼 수도 있습니다.

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$