제곱근의 로랑 확장
다음 두 부분 문제가 있습니다.
(a) 증명 $(z^2 - 1)^{-1}$ 에 분석 제곱근이 있습니다. $\mathbb{C} - [-1,1]$
(b) 영역의 부분 (a)에서 분석 제곱근의 Laurent 확장 구하기 $\{a: |z| > 1 \}$, 중심 $z = 0$.
(a) 부분에서는 뫼비우스 변환이 $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ 매핑 $\mathbb{C} - [-1,1]$ 위에 $\mathbb{C}-(-\infty,0]$. 이후$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ 단순히 연결되고 $F$ 0이 아닙니다. $\mathbb{C} - [-1,1]$, 우리는 단일 값 분석 분기를 정의 할 수 있습니다. $\sqrt{F(z)}$ 의 위에 $\mathbb{C} - [-1,1]$. 그런 다음 빠른 계산으로
$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$
의 분석 제곱근입니다. $(z^2 - 1)^{-1}$ 에 $\mathbb{C} - [-1,1]$.
그러나 나는 파트 (b)를 어떻게 진행해야할지 모르겠습니다. 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
부분적으로 $(a)$ 때문에 $|z|>1$, 만약 $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ 로그의 주요 분기를 사용할 수 있습니다. $\sqrt {w^2}=w.$ 그런 다음 $Z=1/z^2$ 이항 정리가 유효하다는 점에 주목하십시오. $|z|>1,$ 우리는 계산한다
$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$
$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$
만약 $\theta$ 음의 실수 축에 놓인 다음 그에 따라 분기 절단을 선택하고 위의 계산을 반복하십시오. $0<\theta<2\pi$.
나는 또한 우리가 얻을 수 있다고 생각합니다 $(a)$기본 수단으로. 우리는 정의에 따라
$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$. 이 함수는$1$ 과 $-1$ 하지만 $\infty$ 그래서 우리는 다이어그램을 구현할 수 있습니다
환경 $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ 과 $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ 과 $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$
직접 계산을 통해 분석 성을 입증하고 사례를 고려하는 것입니다.