제한법 및 파생 규칙의 증명은 제한이 애초에 존재한다고 암묵적으로 가정하는 것으로 보입니다.
내가 파생 상품을 찾으려고했다고 $x^2$첫 번째 원칙과의 차별화를 사용합니다. 일반적인 인수는 다음과 같습니다.
만약 $f(x)=x^2$, 다음 \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} 같이 $h$ 구혼 $0$, $2x+h$ 구혼 $2x$, 그래서 $f'(x)=2x$.
이 주장을 통해 나는 $$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$실제로 한계가 존재한다는 의미의 대상이었습니다. 나는이 가정을 정당화하는 것이 무엇인지 정말로 이해하지 못한다. 나에게 때로는 객체가 잘 정의되어 있다는 가정이 잘못된 결론을 도출 할 수 있습니다. 예를 들어,$\log(0)$ 이해가 되시면 $$ \log(0)=\log(0)+\log(0) \implies \log(0)=0 \, . $$그렇게 가정 이$\log(0)$ 의미있는 내용을 나타내면 다음과 같다고 잘못 결론을 내리게되었습니다. $0$. 종종 한계가 있음을 증명하기 위해 익숙한 형식으로 작성할 수있을 때까지 조작합니다. 이것은 체인 규칙과 제품 규칙의 증명에서 볼 수 있습니다. 그러나 종종 조작은 정당화 될 수 것으로 보인다 경우 우리가 한도는 처음부터 존재 알고있다! 그래서 여기서 정말로 무슨 일이 일어나고 있습니까?
또 다른 예에서 체인 규칙은 종종 다음과 같이 표현됩니다.
한다고 가정 $g$ 차별화 가능 $x$, 및 $f$ 차별화 가능 $g(x)$. 그때,$(f \circ g)$ 차별화 가능 $x$, 및$$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) $$
증거가 있다면 $(f \circ g)$ 차별화 가능 $x$한계 정의를 사용하여 미분을 계산하는 것과 같습니다. 다시 만족스럽지 않습니다. 이 계산은 다시 다음과 같은 가정을하지 않습니까?$(f \circ g)'(x)$ 애초에 말이 되나요?
답변
명제 : Let$c \in \mathbb{R}$. 가정$f$ 과 $g$ 일부 구멍이 뚫린 열린 공에서 정의되고 서로 동일합니다. $(c - \delta) \cup (c + \delta)$ 의 $c$, 어디 $\delta > 0$. 그때$\lim_{x \to c} f(x)$ 존재하는 경우에만 $\lim_{x \to c} g(x)$존재합니다. 그리고 두 한도가 존재하면 다른 한도도 마찬가지이며 둘 다 동일합니다.
증명 스케치 : 한 지점에서 한계의 정의를 관찰$c$ 가까운 점에만 관심이 있습니다. $c$ 그러나 같지 않다 $c$. 그래서 가치가 무엇이든$f$ 또는 $g$ ...에서 $c$, 또는 그 문제에 대해 정의 여부는 중요하지 않습니다. 이후$f$ 과 $g$ 가까운 지점에서 동일 $c$ 그러나 같지 않다 $c$, 두 함수에 대한 한계 선언문 $c$ 따라서 다른 사람도 유지해야합니다. $\square$
이것은 당신이 보여준 것과 같이 우리가 자주하는 다양한 한계 계산을 정당화합니다. 사실, 단계별로 귀하의 예를 살펴 보겠습니다.
만약 $f(x)=x^2$, 다음 \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} 같이 $h$ 구혼 $0$, $2x+h$ 구혼 $2x$, 그래서 $f'(x)=2x$.
이러한 일련의 계산이 실제로 의미하거나 암시하는 것은 무엇입니까? 음, 마지막 단계 / 동등에서 우리는$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, 우리가 동의하며 $2x$. 기능 이후$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$ 같음 $2x + h$ 구멍이 난 동네에서 $0$, 이제 명제를 사용하여 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ 같음 $\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, 이는 $2x$. 따라서 줄 (3)에서 줄 (2)로가는 것은 정당화됩니다. 다음으로 기능$\displaystyle \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ 같음 $\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$ 구멍이 난 동네에서 $0$, 그래서 다시 우리는 명제를 사용하여 줄 (2)에서 줄 (1)로가는 것을 정당화 할 수 있습니다.
그래서 우리는 일종의 거꾸로 추론했지만 실제로는 이것이 일반적인 한계 계산에서 필요하지 않습니다. 우리의 추론은 한계가없는 경우에도 "작동"합니다. 마지막에 존재하는 한계에 도달하면 반드시 거꾸로 작업하고 초기 첫 번째 한계가 존재 함을 보장 할 수 있습니다. 마지막에 존재하지 않는 한계에 도달하면 반드시 초기 첫 번째 한계가 존재할 수 없습니다. 그렇지 않으면 최종 한계가 존재 함을 보장하기 위해 명제에 의해 보장 된 일련의 동등성을 내려갈 수 있습니다.
따라서 모든 경우에 "잘 작동"합니다. 주목해야 할 중요한 것은 단순히 각 단계에서 특정한 논리적 동등성이 있다는 것입니다. 한계는 이전 또는 이후 단계에 존재하는 경우에만 특정 단계에 존재합니다.
글을 쓰는 게 말이 안된다는 게 맞아요 $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$한계가 존재한다는 것을 우리가 이미 알지 못한다면 그것은 단지 문법 문제 일뿐입니다. 정확하게 말하면 먼저 차이 몫을 다시 쓸 수 있다고 말할 수 있습니다.$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$, 그런 다음 $\lim\limits_{h\to 0}x=x$ 과 $\lim\limits_{h\to 0}h=0$ 상수 배수 법칙과 한계에 대한 합 법칙도 있습니다.
마지막 문장에 추가 : 한계의 익숙한 속성 대부분은 이와 같이 "뒤로"쓰여집니다. 즉, "한도액 법"은$$\lim\limits_{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to c}f(x)+\lim\limits_{x\to c}g(x)$$ 하는 한 $\lim\limits_{x\to c}f(x)$ 과 $\lim\limits_{x\to c}g(x)$존재합니다 . 물론 그것들이 존재하지 않는다면 우리가 방금 쓴 방정식은 무의미합니다. 그래서 우리는 그 주장으로 시작해야합니다.
실제로 단어 수를 저장하는 것 외에 다른 이유가 없다면 일반적으로 약간 캐주얼 할 수 있습니다. 하지만 인트로 분석 수업에서는 합리적으로 가능한 한 조심하고 싶을 것입니다.
다른 답변은 완벽합니다. 한계의 존재가 실제로 중요한 지점 인 상황에서 하루를 절약 할 수있는 관점입니다.
중요한 정의는 limsup과 liminf 중 하나입니다. 이들은 항상 잘 정의되어 있으며, 현재 알아야 할 것은 다음 두 가지 속성뿐입니다.
- $\liminf_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x\to x_0} f(x) $
- 한계 $f$ 존재하는 경우에만 $\liminf_{x \to x_0} f(x) = \limsup_{x\to x_0} f(x) $,이 경우 한계는이 값과 일치합니다.
이제 계산을 두 번한다고 상상해보십시오. 첫째, liminf를 계산합니다. 그런 다음 림업을 계산합니다. 두 계산 모두에서 실제로 한계가있는 무언가에 도달하자마자 (예 :$2x+h$), 속성 (2) 때문에 inf / sup 이야기를 잊고 한계를 계산할 수 있습니다.
일부 조작으로 실제로 한계가있는 것에 도달하기 때문에 두 계산 모두 동일한 결과를 제공하고 다시 특성 (2)로 인해 한계가 존재하고 방금 계산 한 값과 일치합니다.
이제 이것은 당신이 입문 분석을하고 있고 당신이 liminf와 limsup을 모른다면 당신이해야 할 일이 아닙니다.이 두 가지의 형식적인 속성은 lim의 형식적인 속성과 약간 다르며 결국 오류가 발생할 수 있습니다. 그러나 당신이 한계를 "접촉"하지 않고 단지 약간의 조작을하는 한, 같은 주장이 계속 될 것입니다 : 당신이 잘 정의 된 결과를 얻게된다면 그것은 한계입니다 :)
여기에있는 것은 실제로 여러 문장으로 해석되어야합니다.
(1.) 만약 $ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $ 그때 존재 $ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ 존재하고 같음 $\lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $.
(2.) 만약 $ \lim_{h \to 0} [2x + h] $ 그때 존재 $ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ 존재하고 같음 $\lim_{h \to 0} [2x + h]$.
(3.) 만약 $ \lim_{h \to 0} 2x$ 그때 존재 $ \lim_{h \to 0} [2x + h]$ 존재하고 같음 $ \lim_{h \to 0} 2x$.
(4.) $ \lim_{h \to 0} 2x$ 존재하고 같음 $ 2x $.
(4.)가 있으면 (3.)의 "if"(조건부) 부분이 충족되고 (1.)까지 계속됩니다. 문 1에서 3까지의 한계가 존재한다고 가정하는 것은 문제가되지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 그 가정을 실제로 사용한다는 것을 증명하기 위해 사용하지 않았기 때문입니다. 그것은 순환 논리이며 좋지 않습니다.
위의 문 (4.) 역할을 수행하는 문이 없다는 점에서 로그 예제는 이와 다릅니다. 당신은 단지 증명했습니다$\log(0) = 0$ 만약 $\log(0)$ 존재하지 않는다 $\log(0)$존재합니다! 이것은 그 자체로 잘못된 결론이 아닙니다.
더 정확하고 싶다면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
$f'(x) = \lim_{h→0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ 한계가있는 경우
$= \lim_{h→0} (2x+h)$ 한계가있는 경우
$= 2x$.
즉, 각 줄은 "한계가있는 경우"만 유지합니다. 그러나 우리는 두 가지 이유로 인해 대부분의 경우 실제로 그렇게 할 필요가 없습니다.
일반적으로 이러한 조건을 정신적으로 추가하고 한계의 존재에 의존하지 않았는지 확인하는 것은 쉽습니다.
식이 "정의되지 않은 값"을 얻도록 허용하고 "정의되지 않은"하위식이있는 모든식이 그 자체로 정의되지 않음을 정의하면 "한계가 존재하는 경우"조건을 작성할 필요조차 없습니다! 제한이 정의되지 않은 경우 "$\lim \cdots$"표현은 단순히 값을 가질 것"것이다 "정의되지 않은 하지 잘못된 결론으로 이어질.
미분은 차이 몫의 한계가 존재하지 않는 한 존재하지 않습니다.
두 기능의 합의 한계가 두 개의 개별 한계의 합과 같다는 "한계 법칙"은 두 개의 개별 한계가 존재하지 않는 한 적용되지 않습니다. 그것을주의해라
두 개의 개별 한도가 존재하고 합계의 한도가없는 경우는 없습니다. 두 개의 개별 한도가 존재하면 합계의 한도도 마찬가지입니다.
그러나 두 개의 개별 한도가 존재하지 않고 합계 한도가 존재하는 경우가 있습니다. 최근에 여기에 올린 글에서 합계가 아닌 제품에 적용되는 비슷한 상황이 발생했습니다 (지금은 찾을 수 없습니다). 두 가지 요인 중 하나에 대해서는 한계가 없었지만 기능이 제한되어 있으므로 제품의 한계를 압착하여 찾을 수 있습니다.
우리가 고려하면 문제는 크게 사라집니다. $\lim$ 과 $\log$부분 함수 로 명시 적으로 . 부분 함수는 기본적으로 "오류 값"이라는 하나의 추가 ( 구별 가능! ) 요소를 포함하는 codomain을 가진 함수로 볼 수 있습니다 .$$\begin{align} \log :&& \mathbb{R} \not\to \mathbb{R} \\ \lim_0 :&& ((\mathbb{R}\setminus\{0\})\to\mathbb{R}) \not\to \mathbb{R} \end{align}$$ 예를 들면 $$\begin{align} \log(1) =& \text{OK}(0) \\ \log(0) =& \text{ERR} \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac{\sin h}{h}) =& \text{OK}(1) \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac1{h}) =& \text{ERR} \end{align}$$
자, 로그 법칙 $$ \log(a\cdot b) = \log a + \log b $$ "리프트"로 이해되어야합니다. $+$연산자는 양쪽에서 실패를 전달합니다. 그러나 이것은이 연산자에 대해 우리는$p+q=p$ 그 $q=0$, 때문에 $\text{ERR}+q$입니다 항상 $\text{ERR}$상관없이! 대신$\text{OK}(p)+q = \text{OK}(p)$ 우리는 추론 할 수있다 $q = \text{OK}(0)$. 따라서 우리 는 다음 에 대해 잘못된 결론에 도달 하지 않습니다.$\log(0)$, 그것이 아니기 때문에 $\text{OK}$ 값.
미분의 한계에 적용하면 즉시 쓸 수 있습니다.$$ f'(x) = \lim_0\left(h\mapsto\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) $$ 결과가 $\text{ERR}$. 문제없이 우리가 할 수있는 것은 한계 안의 표현식을 함수로 다시 작성하는 것입니다.$h\mapsto\ldots$– 실제로 ( 확장 적으로 ) 동일합니다. 이것은 특히 문제가되지 않습니다$$\begin{align} f'(x) =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\right) \\ =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}\right) \end{align}$$ 때문에 $h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ 과 $h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$ 정말 모두에게 동일합니다 $h\in\mathbb{R}$. 그래도이 시점에서 우리는 한도 중 하나가 실제로 존재하는지 알 수 없습니다. 둘 다일 수 있습니다.$\text{ERR}$, 아니면 둘다 $\text{OK}$, 그러나 어떤 비율로든 동일합니다.
다음 단계에서는 한계가 해당 인수를 도메인으로 0이 아닌 숫자를 가진 함수로만 간주한다는 사실이 필요합니다. $h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$ 같은 기능 $h\mapsto 2\cdot x+h$.
그게 다입니다.이 시점에서 한계가 실제로 $\text{OK}(2\cdot x)$ 돌아가서 우리는 다른 한계도 $\text{OK}$ 같은 가치로.
참고 $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$ 정의되지 않음 $h=0$ 그리고 그 때 $h \ne 0$,
$$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \frac{2hx+h^2}{h} = 2x+h$$
그러나 기능 $:x \mapsto 2x+h$ 정의되고 연속적이며 값이 $2x$ ...에서 $h=0$.
우리는 또한 사용해야합니다
$$\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac hh \; \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{1} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x$$
나머지는 다음과 같습니다.
마지막 단계 이전의 첫 번째 인수에는 한계의 속성이 사용되지 않았으므로 실제로 한계 내에서 수행 한 작업은 단지 다시 작성하는 것입니다. 마지막 단계에 도달하면 분명히 존재 문제, 엡실론 델타 정의가 존재 문제를 다루기 때문에 정당화되는 한계의 속성을 사용하는 마지막 단계와 마지막 단계 이전의 증명에있는 모든 것은 재 작성이기 때문에 체인 규칙에 동일한 것이 적용됩니다. 도움
우리가 절대적으로 명확하게하려면 도함수에 대한 주장은 다음과 같아야합니다. $\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ 과 $\lim\limits_{h\to0}2x+h$둘 다 존재하고 적어도 하나가 존재하는 경우에만 동일합니다. 이후$\lim\limits_{h\to0}2x+h$ 실제로 존재하고 $2x$, 다른 한도 (즉, $\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$) 존재하고있다 $2x$.
이것은 귀하의 로그 예제에서는 작동하지 않습니다. $\log0$ 과 $\log0+\log0$둘 중 하나 이상이 있으면 동일합니다. 그러나 둘 다 존재하지 않으므로 요점은 논쟁의 여지입니다.